Уравнения и неравенства на Курчатове

Заметим, что поэтому среди чисел и либо два отрицательных и одно положительное, либо все положительные. Без ограничения общности будем считать, что число — наибольшее, тогда ясно, что числа и имеют разные знаки, значит, Разберем два случая.

Случай 1. . В этом случае легко видеть, что (числитель меньше числителя, знаменатель больше знаменателя, и все разности положительны). Поэтому и

Домножая на знаменатели, получаем систему из трех уравнений:

Заметим, что сумма трех этих равенств равна поэтому можно рассматривать только первые два. Выражая из второго равенства переменную находим Подставляя это выражение в первое равенство и упрощая, получаем:

Когда переменная будет пробегать все возможные положительные значения, эти две формулы будут описывать соответствующие значения переменных и

Заметим, что мы рассматривали случай, когда переменная — наибольшая. Если придать переменной отрицательные значения, полученные формулы будут давать ответ в ситуациях, когда наибольшей является переменная или Таким образом, первая серия ответов выглядит следующим образом:

Случай 2. В этом случае мы получаем аналогичную серию равенств:

Домножая на знаменатели, получаем систему из трех уравнений:

Складывая эти равенства, получаем формулу Учитывая, что находим Тогда и первое уравнение нашей системы переписывается в виде Вновь вспоминая, что находим Остается решить несложную систему:

Решая ее, находим ответ и (мы учитываем, что

Вновь циклически переставляя найденные ответы, получаем еще три тройки: