Последовательности, функции и их свойства на Курчатове (матан...)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что существуют такие последовательности натуральных чисел 
и 
что одновременно выполнены следующие
условия:
- последовательности 
и 
являются неубывающими;
- последовательности 
и 
неограниченно возрастают;
- последовательность 
ограничена.
Источники:
Подсказка 1
Попробуем строить последовательности а и b вокруг последовательности С. Пусть каждый k-тый член в ней равен 2 в степени (-k) — такая последовательность, конечно, ограничена. Как теперь собрать такие последовательности а и b, чтобы max(aₙ, bₙ)=cₙ?
Подсказка 2
Вспомним про раскраски! Разобьём натуральный ряд на цветные отрезки, и для каждого цвета одно число (аₙ или bₙ) равно 2^n, а второе число должно быть меньше него. Как бы это реализовать?
Подсказка 3
Для каждого числа "не на своём цвете" будем брать 2 и возводить в самое маленькое число на этом отрезке! То есть, если красный отрезок начинается с числа k, то (не умаляя общности) аₙ равен 2^n, а bₙ равен 2^k (для синих отрезков аналогично с точностью наоборот). Тогда мы действительно можем составить нашу последовательность c, а так же обе последовательности а и b будут неубывающими. Но как сделать так, чтобы и последовательности А и В были неограниченно возрастающими? Хорошо бы было, если бы на каждом красном отрезке сумма обратных значений b не была слишком маленькой...
Подсказка 4
Конечно! Пусть длина каждого отрезка, начинающегося на k, равна 2^k! Тогда сумма обратных на каждом отрезке равна единице, и последовательности будут не ограничены сверху!
Рассмотрим последовательность 
. Ясно, что все суммы
ограничены. Будем строить исходные последовательности 
и 
так, чтобы 
. Последовательно разобьём
натуральный ряд на отрезки подряд идущих чисел так, что если отрезок начинается с числа 
, то его длина равна 
. После этого
раскрасим все эти отрезки поочередно в красный и синий цвета.
Теперь зададим последовательность 
следующим образом:
- если 
- красное число, то положим 
равным числу 
;
- если 
- синее число, то положим 
равным 
, где 
- первое число отрезка, содержащего 
.
Последовательность 
зададим аналогично, но инвертируя цвета:
- если 
- синее число, то положим 
равным числу 
;
- если 
- красное число, то положим 
равным 
, где 
- первое число отрезка, содержащего 
.
Заметим, что для каждого синего отрезка сумма обратных значений последовательности 
на нём равна 
поэтому
последовательность сумм 
не ограничена сверху. Аналогично, для последовательности 
сумма обратных значений на
каждом красном отрезке равна 
поэтому последовательность сумм 
не ограничена сверху.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
