Последовательности, функции и их свойства на Курчатове (матан...)

Рассмотрим последовательность . Ясно, что все суммы

ограничены. Будем строить исходные последовательности и так, чтобы . Последовательно разобьём натуральный ряд на отрезки подряд идущих чисел так, что если отрезок начинается с числа , то его длина равна . После этого раскрасим все эти отрезки поочередно в красный и синий цвета.

Теперь зададим последовательность следующим образом:

- если - красное число, то положим равным числу ;

- если - синее число, то положим равным , где - первое число отрезка, содержащего .

Последовательность зададим аналогично, но инвертируя цвета:

- если - синее число, то положим равным числу ;

- если - красное число, то положим равным , где - первое число отрезка, содержащего .

Заметим, что для каждого синего отрезка сумма обратных значений последовательности на нём равна поэтому последовательность сумм не ограничена сверху. Аналогично, для последовательности сумма обратных значений на каждом красном отрезке равна поэтому последовательность сумм не ограничена сверху.