Последовательности, функции и их свойства на Курчатове (матан...)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём функцию 
хорошей, если
определена на отрезке ![[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/129862/index-b923f9643c4794ff7f82ea668657ee57.svg)
и принимает действительные значения;
- для всех
![x,y ∈ [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/129862/index-fb93037407ec307f6389738004325eb3.svg)
верно 
Найдите все хорошие функции.
Источники:
Подсказка 1
Сразу заметим важную вещь: если f(x) - решение, то и f(x) + c будет решением, где c - любая константа, а также -f(x) - решение. Какие удобные значения функции мы тогда можем подобрать?
Подсказка 2
Сразу хочется сделать, чтобы f(0) = 0. Попробуйте подставить туда точки 0 и 1, что тогда выйдет?)
Подсказка 3
Выйдет, что 1 <= |f(1)| <= 1, т.е. |f(1)| = 1. Давайте считать, что f(1) = 1 (т.к. мы все равно можем умножить функцию на минус в случае чего). А теперь подумайте, что можно подставлять, чтобы оценить f(x)?
Подсказка 4
Например, подставим y = 0, и получим, что f(x) <= |f(x)| <= |x| = x, т.е. f(x) <= x. Попробуйте теперь получить обратную оценку и f(x) будет найдена!
Заметим, что вместе с каждой функцией 
удовлетворяющей условию, ему также удовлетворяют и все функции вида 
и
Докажем, что если 
и 
то при всех ![x∈ [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/129864/index-7b996fa860a7b1d2aba3465355d32af6.svg)
верно 
Отсюда и из замечания выше будет следовать
ответ.
Итак, пусть 
и 
. Подставив 
, получаем 
, то есть 
, поэтому 
.
Далее для любого 
имеем
Итак, 
и 
то есть 
Следовательно, 
где 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
