Последовательности, функции и их свойства на Курчатове (матан...)

Докажем, что для любого целого справедливы следующие формулы:

Будем доказывать эти формулы индукцией по . База проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы для всех чисел, не больших , и докажем эти формулы для числа . Поскольку по предположению индукции , последовательно получаем следующие равенства:

Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности могут равняться 2024. Ясно, что числа вида и не могут равняться 2024: числа вида нечётны, а числа вида равны 1 . Далее, числа вида могут равняться 2024 только при , что дает нам один пример последовательности.

Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного число равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение: . Заметим, что сомножитель дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4. Значит, число , во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к. ). Поскольку , число имеет вид , где и . Для того, чтобы число такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень была бы нечетной (поскольку и ). Получаем ещё 6 возможных значений . Вместе с вариантом получаем 7 возможных последовательностей.