Видим, что

a= b= c=1

удовлетворяет условию. Далее будет доказано, что других ответов нет.

1) Предположим, что

s= (a2+ 1)(b2+1)(c2+ 1)

делится на $pqr,$ где

p= a+ bc,q = b+ ca,r= c+ab

это следует из условия, если дополнительно предполагать, что $p,q,r$ различны.

Заметим, что один из трех сомножителей $a2+ 1,$ $b2+ 1,$ $c2 +1$ не может делиться на произведение двух из чисел $p,q,r,$ так как он меньше этого произведения. Действительно, рассмотрим, например, $pq.$ Из раскрытия скобок видим, что

pq > c2(ab)+ab≥ c2 +1, pq > b2c+ ab≥ b2+ 1

и аналогично

pq > a2+ 1.

Следовательно, каждый из сомножителей $a2+ 1,$ $b2+ 1,$ $c2+1$ должен делиться ровно на одно из чисел $p,q,r.$ Пусть, для определенности, $a$ — наименьшее из чисел $a,b,c.$ Тогда $a2 ≤ bc$ и $1≤ a,$ поэтому $a2 +1$ может делиться на $p= bc +a$ только в случае $a2 = bc$ и $a = 1,$ т.е в случае

a = b=c =1.

Далее, $2 a ≤ ac$ и $1≤ b,$ поэтому $2 a +1$ может делиться на $q = ac+ b$ только в случае $2 a = ac$ и $b= 1,$ т.е в случае

a = b=c =1.

Аналогично, $a2+ 1$ может делиться на $r= ab+c$ только при

a = b=c =1.

2) Пусть какие-то два из трех чисел $p,q,r$ совпадают, скажем, $p =q.$ Тогда

0= q− p= b+ca− a− bc= (a− b)(c− 1).

Значит, либо $a= b,$ либо $c= 1.$ Первый случай возможен лишь при $a= b=1,$ иначе

p= a+bc= a+ ac= a(a+ c)

— составное число, что дает противоречие. Значит, в любом случае среди $a,b,c$ присутствует единица, скажем, $c= 1.$

Тогда наши данные простые числа — это $p= a+ b,$ $q = a+ b$ и $r= ab+ 1,$ и они должны быть делителями

s= 2(a2+ 1)(b2+1).

Если хотя бы одно из чисел $a,b$ больше 1, то $p> 2$ и на $p= a+b$ обязан делиться хотя бы один из сомножителей $a2+1$ и $b2+ 1.$ А поскольку разность

(a2 +1)− (b2+ 1)=(a− b)(a+ b)

делится на $p= a+ b,$ получаем, что оба числа $a2+1,$ $b2+ 1$ делятся на $p.$ Тогда если $r$ отлично от $p= q,$ то $s$ делится на $pqr,$ что разобрано в случае $1.$

Остается вариант

p= q = r.

Рассуждаем как в предыдущем случае и получаем, что хотя бы два из трех чисел $a,b,c$ обязаны равняться $1.$ Пусть, например,

a =b =1,p= q = r= c+1,s= 4(c2+ 1).

Случай $c=1$ уже был ранее. Если $c> 1,$ то $c+ 1$ — нечетное простое, значит $c2+1$ должно делиться на $c+ 1.$ Отсюда

(c2+ 1)− (c+1)= c(c− 1)

должно делиться на $c+ 1.$ Но это невозможно, так как

0< c− 1< c<c +1

и $c+ 1$ — простое.

Оценки для доказательства делимости