Оценки для доказательства делимости

Рассмотрим произвольную пару, выписанную Робертом. Обозначим разность в ней через Тогда сами числа равны и при некотором натуральном При этом число должно быть трехзначным, а  — четырехзначным. Заметим, что при такое невозможно. Если же то такое обязательно найдется, и более того, оно единственно: подходит наибольшее при котором Число в таком случае трехзначно, ведь будь оно двузначно, мы могли бы увеличить хотя бы на При этом число но при этом, очевидно, не больше так как Остальные очевидно, не подходят: при больших значениях число уже не трехзначно, а при меньших число не четырехзначно.

Итак, при любом существует ровно одна пара с разностью подходящая под условие, а при остальных таких пар нет вообще. Значит, пар Все они различны хотя бы потому, что в этих парах разная разность чисел в паре.