Стереометрия на Энергетике
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две сферы касаются друг друга внешним образом и каждая из них касается внутренним образом большей сферы. Радиус одной в два
раза, а другой — в три раза меньше радиуса наибольшей сферы. В точке касания малых сфер друг с другом построена
касательная плоскость к ним. Найдите расстояние от этой плоскости до центра наибольшей сферы, если ее радиус равен
Источники:
Подсказка 1
Не очень удобно работать в пространстве. Может, тогда перейти в плоскость? Давайте перейдем в плоскость α, проходящую через центры наших сфер...
Подсказка 2
Обозначим их центры за O, O₁ и O₂. Пускай R=6r ⇒ радиусы оставшихся двух сфер равны 3r и 2r ⇒ O₁O₂=5r, OO₁=3r и OO₂=4r. Что мы можем сказать про треугольник △O₁OO₂?
Подсказка 3
Верно, он прямоугольный! Пускай плоскость β, касающаяся наших сфер, пересекает α по прямой L. Обозначим за K- точку пересечения OO₂ и L, D- основание перпендикуляра из O на прямую L и F- точку касания маленьких сфер. Какие между собой треугольники △ODK, △KFO₂ и △O₁OO₂?
Подсказка 4
В яблочко, они подобны! Тогда: KO₂/FO₂=O₁O₂/OO₂ ⇒ KO₂=r*5/2 ⇒ KO=r*3/2. Также: OD/KO=OO₂/O₁O₂ ⇒ OD=r*6/5=R/5.
Проведём сечение описанной композиции плоскостью, проходящей через центры трех сфер. Искомое расстояние будет длиной отрезка 
на этой плоскости.
Пусть радиусы малых окружностей равны 
и 
Тогда радиус наибольшей (внешней) равен 
(дано: 
). Рассмотрим
Его стороны равны 
и 
следовательно, он прямоугольный.
Обозначим точку пересечения искомой хорды с отрезком 
через 
а с отрезком 
через 
Опустим из центра наибольшей
окружности перпендикуляр 
на искомую хорду (отрезок общей касательной). Тогда искомая хорда делится точкой 
пополам и
перпендикулярна отрезкам 
и 
Прямоугольные треугольники 
подобны. Поэтому 
, откуда 
и 
Далее, 
откуда 
