Тема Изумруд

Последовательности и прогрессии на Изумруде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79614

Можно ли в клетках квадрата $6 ×6$ расставить числа от $1$ до $36$ (каждое по одному разу) так, чтобы $6$ сумм по горизонтали и $6$ сумм по вертикали в некотором порядке являлись $12$ последовательными числами?

Источники: Изумруд-2024, 11 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим первую из 12 последовательных сумм за n. Какие числа входят в эти суммы? Что можно сказать о сумме всех сумм по горизонтали? А по вертикали?

Подсказка 2

Заметим, что при подсчёте всех горизонтальных сумм мы каждое число в таблице посчитали один раз. Тогда чему будет равна сумма всех таких 12ти сумм?

Подсказка 3

Удвоенной сумме всех чисел в таблице. Может ли быть такое? Проверим уравнением

Показать ответ и решение

Предположим, что можно. Сумма всех чисел равна $1+ 2+ 3+ ...+36.$ А удвоенная их сумма равна $n+ (n+1)+ ...+ (n +11).$ Посчитав суммы арифметических прогрессий, получаем

2n+ 11 36 ⋅37 --2---⋅12 = -2---⋅2

2n =211

Противоречие, так как $n ∈ℕ.$

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71021

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что числа $a2,b2,c2,d2$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию и числа $--1-- a+b+c$ , $--1-- a+b+d$ , $--1-- a+c+d$ , $-1--- b+c+d$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию. Докажите, что $a =b= c= d$ .

Источники: Изумруд-2023, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии и получим четыре уравнения от четырех переменных. Попробуйте преобразовать их таким образом, чтобы получить зависимость b + d от c.

Подсказка 2

Приведем к общему знаменателю уравнение 1/(a+b+c)+1/(a+c+d)=2(a+b+d). Получаем, b²+d²+ab+ad=2c²+2ac. Так же мы знаем, что b²+d²=2c². Попробуйте, пользуясь ранее полученными уравнениями, сперва доказать, что b = d, потом, что c = b, а затем и равенство a = b.

Показать доказательство

Запишем характеристическое свойство для каждой арифметической прогрессии:

2 2 2 a +c = 2b

(1)

b2 +d2 = 2c2

(2)

---1---+ ---1---= ---2--- a +b+ c a+ c+ d a+ b+ d

(3)

Преобразуем уравнение $(3):$

(a+ b+d)(a+c+ d)+ (a+ b+ c)(a+b +d)= 2(a+ b+ c)(a+c +d)

2a2+ b2 +d2+ 3ab +2ac+3ad+ 2bc +2bd+2cd= 2a2+2c2+ 2ab+ 4ac+2ad+ 2bc+ 2bd+2cd

b2+d2+ ab+ ad =2c2+ 2ac

Воспользовавшись равенством $(2),$ получим

ab +ad= 2ac

при этом $a> 0,$ значит $b+ d= 2c.$ Подставим в равенство $(2)$ и получим

(b +d)2 b2 +d2 = 2--2-

2(b2 +d2)= b2 +2bd+d2

(b− d)2 = 0

То есть $b= d.$ Но $2c= b+d =2b,$ откуда $b=c =d.$

Подставим полученные равенства в уравнение $(1):$

a2+b2 = 2b2

Значит, $a= b= c=d.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94273

Геометрическая прогрессия $a ,a,a ,...,a 1 2 3 n$ , в которой все члены различны, такова, что числа $a,a2,a3,...,an 1 2 3 n$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию. Какое наибольшее значение может принимать $n?$

Источники: Изумруд - 2021, 11.4 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте подумаем над тем, какое ориентировочно может быть n (а если поймем как-то прикидками, какое n, то поймем как его примерно получать). Понятно, что оно какое-то небольшое, иначе непонятно, как приводить пример для n-1, а также не совсем понятно как приходить к противоречию в n. Давайте начнём перебирать с маленьких. 1 точно не подходит, как и 2. Насчет тройки — наверное, вот так сразу же после двух очевидных случаев граница вряд ли будет идти, ведь как минимум, у нас выходит всего одно уравнение на члены (про то, что среднее равно полусумме крайних), а параметра два — a₁ и q. Но в смысле фиксации параметров кажется подходящим n = 4, ведь там два уравнения такого же вида и два параметра. Попробуйте расписать эти уравнения и решить их.

Подсказка 2

После сокращения уравнений на a₁ и (a₁*q)² соответственно мы получим два квадратных уравнения на a₁, а значит можно выписать корни явно (проверьте и то, почему мы вообще можем сокращать). При этом корни должны совпадать. Часто ли такое случается при нашей системе?

Подсказка 3

Нет, очевидными оценками можно получить, что корни никогда не могут совпадать (несколько случаев, которые сводятся либо к оценке, либо к единственному решению при q=1, или a₁=0). Ну тогда нам остается только привести пример при n=3. Как его найти? Можно составить ту систему, о которой говорится в первой подсказке и один из параметров выбрать самостоятельно, а для нахождения второго решить уравнение, но уже с одним параметром.

Показать ответ и решение

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через q. Предположим, что $n ≥4$ , тогда в исходной прогрессии точно присутствуют числа $2 a1,a2 = a1q,a3 = a1q,a4 =$ $3 a1q$ . Тогда по свойству арифметической прогрессии имеем

{ 2(a q)2 =a + (aq2)3 ( 12)3 1 2 1( 3)4 2a1q =(a1q) + a1q

Поскольку все члены геометрической прогрессии различны, то $a1 ⁄= 0$ и $q ⁄= 0,q ⁄= 1$ . Поделим первое уравнение системы на $a1$ , а второе - на $(a1q)2$ . Получим

{ 2a1q2 = 1+ a2q6 { a2q6 − 2a1q2 +1 =0 2a1q4 = 1+ 1a2q10 , откуда a12q10− 2a1q4+ 1= 0 . 1 1

Решая первое уравнение системы, как квадратное относительно $a1$ , получаем

∘ ------- ∘ ----- 2q2±--4q4− 4q6 1-±--1−-q2 a11,2 = 2q6 = q4 .

Решая второе уравнение системы, как квадратное относительно $a1$ , получаем

4 ∘ -8----10- ∘ ----2 a11,2 = 2q-±---4q10−-4q--= 1±--16−-q-. 2q q

Из этого следует, что $√---- √---- 1±-1q4−q2= 1±-1q6−q2$ . Если $√---- √---- 1+-1q4−q2= 1+-1q6−q2$ или $√ ---- √ ---- 1+-q14−q2-= 1+-q1−6-q2-$ , то $q4 = q6$ . Полученное уравнение имеет решение только лишь при $q = 0,q =1,q = −1$ . Ранее было отмечено, что первые два варианта невозможны.

Если $q = −1$ , то $a1 = 1a1$ или $a21 =1$ . Но тогда прогрессия имеет либо вид $1,− 1,1,− 1$ , либо вид $− 1,1,− 1,1$ , что невозможно по условию.

Если $1+√1−q2 1−√1−q2 q4 = q6$ или $1−√1−-q2- 1+√1−q2- q4 = q6$ , то $2 2∘ ----2 ∘ ----2 q ± q 1− q = 1∓ 1− q$ , откуда $2 ( 2 )∘ ---2- q − 1= ± q +1 1− q$ .

Поскольку $q2+ 1> 0$ и $q2− 1< 0$ , то уравнение $q2− 1 =$ $( )∘ ----- q2+ 1 1− q2$ не имеет решений, а значит, $( )∘ ----- q2− 1 =− q2 +1 1− q2$ .

2 ( 2 )∘----- 1− q∘ =-q-+ 1 1− q2, 1− q2 = q2+ 1.

Но $q2+ 1> 1$ , а $1− q2 <1$ , поэтому уравнение также не имеет решений, а значит, $n <4$ . При $n= 3$ такая прогрессия существует, например, при $√ - a1 = 89,q =-23$ .

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел