Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

ГМТ, расположение объектов на плоскости

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#100112Максимум баллов за задание: 7

Точки $B$ и $C$ зафиксированы на окружности с центром в точке $O$ , а точка $A$ движется по дуге $BC.$ Зафиксируем на хорде $BC$ точку $K.$ Прямая, проходящая через $K$ параллельно $OB,$ пересекает прямую $AB$ в точке $B1.$ Прямая, проходящая через $K$ параллельно $OC,$ пересекает прямую $AC$ в точке $C1.$ Докажите, что центр описанной окружности треугольника $AB1C1$ движется по прямой $BC.$

Источники: Муницип - 2023, 11 класс

Показать доказательство

Пусть окружность, проходящая через точки $B ,C 1 1$ и $K$ , вторично пересекает прямую $BC$ в точке $L$ .

$PIC$

∠LB1C1 =∠LKC1 = ∠KCO =∠KBO = ∠BKB1 = ∠LC1B1

Значит, $LB1 = LC1$ и

∠B1LC1 = ∠B1KC1 = ∠BOC = 2∠B1AC1

Так что $L ∈BC$ это центр описанной окружности треугольника $AB1C1$ .

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#92041Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $75∘$ , а угол $B$ равен $60∘.$ Вершина $M$ равнобедренного прямоугольного треугольника $BCM$ с гипотенузой $BC$ расположена внутри треугольника $ABC$ . Найдите угол $MAC.$

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $∠BAC = 45∘.$ Проведём окружность с центром $M$ и радиусом $MB = MC.$

$PIC$

Так как $∠BMC = 90∘$ , то большая дуга $BC$ этой окружности является геометрическим местом точек, из которых хорда $BC$ видна под углом $45∘$ . Следовательно, вершина $A$ принадлежит этой окружности. Значит, треугольник $AMC −$ равнобедренный, и

∠MAC = ∠MCA = ∠BCA − ∠MCB =75∘− 45∘ =30∘

Ответ:

$30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#79694Максимум баллов за задание: 7

На сторонах выпуклого четырёхугольника $ABCD$ во внешнюю сторону построены прямоугольники. Оказалось, что все вершины этих прямоугольников, отличные от точек $A,B,C,D,$ лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — вписанный.

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 10.7(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $ABXY$ — один из данных прямоугольников, а $O$ — центр окружности, на которой лежат восемь вершин из условия задачи. Тогда $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $XY.$ Но он совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $AB.$ Поскольку $O$ лежит на нём, имеем $OA =OB.$ Аналогично доказываем, что $OB = OC$ и $OC =OD.$ Тогда $O$ равноудалена от всех вершин четырехугольника $ABCD,$ значит, $ABCD$ вписан в окружность с центром $O,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#82167Максимум баллов за задание: 7

Даны две окружности, пересекающиеся в точках $P$ и $Q.C$ – произвольная точка одной из окружностей, отличная от $P$ и $Q;A,B$ – вторые точки пересечения прямых $CP,CQ$ с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников $ABC.$

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $C1$ — точка, диаметрально противоположная $C,C2$ — точка, симметричная $C1$ относительно центра $O2$ второй окружности. Тогда, так как $C1P ⊥ AC,$ а проекцией $O2$ на $AC$ является середина отрезка $PA,C2A⊥ AC.$ Аналогично, $C2B ⊥ AB.$ Значит, центром описанной около $ABC$ окружности будет середина отрезка $CC2.$ При этом $CC2$ параллелен отрезку между центрами окружностей и вдвое его длиннее. Следовательно, искомым ГМТ будет окружность, полученная из той, на которой лежит точка $C,$ переносом на вектор, определяемый центрами данных окружностей, без точек, соответствующих $P$ и $Q.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#82165Максимум баллов за задание: 7

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть S₁ и S₂ — данные окружности, O₁ и O₂ — их центры. Может, попробуем параллельно перенести одну на другую?

Подсказка 2

Давайте считать, что R₁ ≤ R₂, параллельно перенесем вторую внутрь первой при помощи вектора (O₂O₁). Обозначим полученную окружности за S₂'. Пусть A₁ — точка окружности S₁, A₂ и A₂' — точки окружностей S₂ и S₂', соответствующие друг другу.

Подсказка 3

Пусть M — середина отрезка A₁A₂, M' — середина отрезка A₁A₂', тогда что можно сказать про вектор (M'M)?

Подсказка 4

В силу параллельного переноса, (M'M) = 1/2 * (O₁O₂). Какой случай тогда можно рассмотреть?

Подсказка 5

Далее будем рассматривать две концентрические окружности, ведь можно сдвинуть полученное ГМТ на данный вектор.

Подсказка 6

Пусть O — их центр, радиусы — R, r (R > r). Пусть точка А перемещается по меньшей окружности, В — по большей, рассмотрим середину этого отрезка.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $S1$ и $S2$ — данные окружности, $O1$ и $O2$ — их центры. Рассмотрим окружность $S′2,$ которая получается из окружности $S2$ параллельным переносом на вектор $−−O−2→O1;$ центр этой окружности совпадает с центром окружности $S1.$ Пусть $A1$ — точка окружности $S1,A2$ и $A′2$ — точки окружностей $S2$ и $S′2,$ соответствующие друг другу. Если $M$ — середина отрезка $A A , 1 2$ а $M ′$ — середина отрезка $A A′, 1 2$ то $−M−−→′M = 1 ⋅−O−−O→. 2 1 2$ Поэтому можно рассмотреть случай, когда даны две концентрические окружности, потому что полученное ГМТ можно сдвинуть на вектор $1 −−−→ 2 ⋅O1O2.$

$PIC$

Пусть $O$ — общий центр двух окружностей радиусом $R$ и $r,$ причём $R> r.$ Фиксируем на окружности радиуса $r$ точку $A$ и рассмотрим середины всех отрезков $AB,$ где точка $B$ перемещается по окружности радиуса $R.$ Они образуют окружность (в этом можно убедиться, если сделать гомотетию в $A$ с коэффициентом $2,$ тогда все середины попадут на большую окружность), причём её самая близкая к $O$ точка находится на расстоянии $R-−2r,$ а самая далёкая — на расстоянии $R+r2 .$ Если точка $A$ будет двигаться по всей окружности, то мы получим кольцо с внутренним радиусом $R−2r$ и внешним радиусом $R+r2 .$