.03 Графики функций

a)
1. Ясно, что функция определена всюду кроме точки . Как отношение непрерывных функций, она будет непрерывна всюду кроме точки .

Поскольку при стремлении к 1 хоть слева, хоть справа, наша функция стремится к бесконечности, то - разрыв II рода.

2. На своей области определения наша функция будет дифференцируема как отношение дифференцируемых функций.

при и и не определена в точке .

Поскольку в левой полуокрестности нуля производная положительна, а в правой полуокрестности нуля производная отрицательна, то - локальный максимум.

И в левой и в правой полуокрестности точки производная отрицательна, то есть это не точка экстремума.

В левой полуокрестности точки производная отрицательна, а в правой полуокрестности - положительна. То есть точка - точка локального минимума.

Таким образом, мы нашли экстремумы и знаем поведение нашей функции с точки зрения её монотонности всюду на её области определения:
- возрастает при и убывает на .

3. При и слева и справа функция стремится, понятное дело, к бесконечности, поэтому - вертикальная асимптота. Причем при , а при .

Далее, найдем наклонные асимптоты.

Это потенциальный угловой коэффициент нашей наклонной асимптоты. Теперь попробуем вычислить её свободный член:

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой нашей функции.

4. Точки пересечения с осью ищутся из условия и мы получаем одну единственную точку .

Точка пересечения с осью ищется подстановкой вместо нуля в уравнение функции и получаем точку .

5. Таким образом, мы можем приблизительно изобразить график нашей функции:

b)
1. Ясно, что эта функция определена всюду на и всюду на она непрерывна как произведение непрерывных функций (второй сомножитель всюду непрерывен как композиция всюду непрерывной экспоненты и всюду непрерывной квадратичной функции).

2. Наша функция будет дифференцируема как произведение всюду дифференцируемых функций.

при и .

Поскольку в левой полуокрестности производная отрицательна, а в правой полуокрестности производная положительна, то - локальный минимум.

Аналогично получим, что - локальный максимум.

Таким образом, мы нашли экстремумы и знаем поведение нашей функции с точки зрения её монотонности всюду:
- убывает при и возрастает на .

3. Очевидно, что вертикальных асимптот нет.

Далее, найдем наклонные асимптоты.

Это потенциальный угловой коэффициент нашей наклонной асимптоты. Теперь попробуем вычислить её свободный член:

Следовательно, прямая является наклонной (и на самом деле горизонтальной) асимптотой нашей функции.

4. Точки пересечения с осью ищутся из условия и мы получаем одну единственную точку .

Точка пересечения с осью ищется подстановкой вместо нуля в уравнение функции и получаем точку .

5. Таким образом, мы можем приблизительно изобразить график нашей функции: