Тема . Математический анализ

.03 Графики функций

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71346

Построить график кривой, заданной параметрически:

(
{ x = --12
      1−t
( y = (t−11)2
Показать ответ и решение

1. Участки монотонности x (t)  :

x′(t) = (12−tt2)2   . Следовательно, x′(t) = 0  только при t = 0  . Имеем:

-----------------------------||--------------|--------------||--------------|---------------
 У частки мон отонности x(t): ||(− ∞, − 1)    |(− 1,0)       ||(0,1)         |   (1,+ ∞ )
-----------------------------||--------------|--------------||--------------|---------------
 x′(t)                       ||< 0           |<  0          ||> 0           |     >  0
                             ||              |              ||              |
 x(t)                        ||↓ от 0 до − ∞ |↓ от + ∞ до 1 ||↑ от 1 до + ∞ | ↑ от − ∞ до 0

Эскиз графика x(t)  :

PIC

2. Участки монотонности y(t)  :

y′(t) = --−2-
       (t− 1)3   . Имеем:

-----------------------------|---------------|--------------||-|--
-У-частки-моното-нности-y(t):---(−-∞,-1)--------(1,+-∞-)------------
--′--------------------------|---------------|--------------||-|--
 y (t)                        | > 0           |< 0           || |
 y(t)                        | ↑ от 0 до +∞  |↓ от +∞  до 0 || |

Эскиз графика y(t)  :

PIC

Далее, ясно, что при t → − 1  и x(t) → ∞ и y(t) →  1
       4   , поэтому при t = − 1  мы имеем горизонтальную асимптоту     1
y = 4   .

Далее, при t → 1  и x(t) → ∞ и y(t) → ∞ . То есть при t = 1  график может иметь наклонную асимптоту.

Найдём её коэффициенты:

        y(t)       1− t2       (1 − t)(1 + t)      1 + t
k = lim  ----= lim ------2 = lim ---------2-- = lim -----= ∞
    t→1 x(t)  t→1 (t− 1)    t→1    (t− 1)      t→1 1 − t

То есть предела для k  не существует, а это означает, что наклонной асимптоты на самом деле нет.

Осталось теперь совместить наши две таблицы монотонности в общую таблицу:

------|---------------|--------------||--------------|--------------||-||
-t:-----(−-∞,-−-1)------(−-1,0)---------(0,1)----------(1,+-∞-)----------|
      |               |              ||              |              || ||
 x(t) | ↓ от 0 до − ∞ |↓ от +∞  до 1 ||↑ от 1 до + ∞ |↑ от − ∞ д о 0|| ||
 y(t) | ↑ от 0 до 14   |↑ от 14 до 1   ||↑ от 1 до + ∞ |↓ от + ∞ д о 0|| ||

PIC

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!