Тема . Математический анализ

.03 Графики функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71348

Построить график кривой, заданной параметрически:

x(t) = sin(2t), y (t) = sin(4t)

Указание. Несмотря на то, что область изменения параметра $t$ нельзя разбить на конечное число промежутков монотонности функции $x(t)$ , здесь явно можно воспользоваться периодичностью.

Показать ответ и решение

Видно, что функции $x(t)$ и $y(t)$ периодичны, $x (t)$ имеет период $π$ , а $y(t)$ имеет период $π2$ . Нарисуем графики этих функций:

$PIC$

Также заметим следующее:

$π y (t + 2) = y(t)$ , $π x(t+ 2 ) = − x(t)$
То есть $(x(t+ π2),y(t+ π2)) = (− x(t),y(t))$

Получаем, что чтобы получить график для $t ∈ [π,π] 2$ достаточно отразить график для $t ∈ [0, π2]$ относительно оси $Oy$ .
$y (t + π) = − y(t) 4$ , $x (t + π) = x(π − t) 4 4$
То есть $(x(t+ π4),y(t+ π4)) = (x (π4 − t),− y(t))$

Получаем, что чтобы получить график для $t ∈ [π, π] 4 2$ достаточно отразить график для $π t ∈ [0, 4]$ относительно оси $Ox$ .

Значит, нам достаточно рассмотреть график для $t ∈ [0, π4]$ .

На $[0, π4]$ $x (t)$ монотонно возрастает (от 0 к 1), а $y(t)$ монотонно возрастает на $[0, π8]$ (от 0 к 1) и монотонно убывает на $[π, π ] 8 4$ (от 1 к 0).

Соответственно, получаем:

при росте $t$ от $0$ к $π8$ движение по кривой происходит направо вверх от точки $(0,0)$ к точке $(√1-,1) 2$
при росте $t$ от $π8$ к $π4$ движение по кривой происходит направо вниз от точки $(√1,1) 2$ к точке $(1,0)$

Получили, что точка $(√1-,1) 2$ (соответствует $t = π 8$ ) - локальный максимум. А точки $(0,0)$ и $(1,0)$ - локальные минимумы при $π t ∈ [0,4]$ . И других точек локального экстремума нет (из-за участков монотонности функций $x (t)$ и $y(t)$ ).

Теперь можем нарисовать эскиз кривой для $t ∈ [0, π] 4$ :

$PIC$

Отразим получившийся график относительно оси $Ox$ - получим эскиз кривой для $t ∈ [0, π2]$ . И теперь осталось только отразить все, что есть, относительно оси $Oy$ . И получим итоговый эскиз графика нашей кривой:

$PIC$

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.03 Графики функций

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ