Тема 2. Задачи на векторы

2.03 Задачи №2 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#73606Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(14;−2)$ и $⃗b(− 7;− 1).$ Найдите $cosα,$ где $α$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗ b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Заметим, что, с одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗ b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2,

а с другой стороны, оно равно

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами.

Следовательно, в нашем случае имеем:

14 ⋅(− 7)+ (−2)⋅(−1)= ⃗a⋅⃗b =∘142-+-(−2)2⋅∘(−7)2+-(−1)2⋅cosα.

Значит,

---−96--- −96- cosα = 10√2 ⋅5√2-= 100 = − 0,96.

Ответ: -0,96

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#74702Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(− 6;2)$ и $⃗b(9;13).$ Найдите косинус угла между векторами $⃗a$ и $⃗ b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Заметим, что, с одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗ b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2,

а с другой стороны, оно равно

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами.

Следовательно, в нашем случае имеем:

∘ ---2---2-∘ -2----2 − 6⋅9+ 2⋅13= (−6) +2 ⋅ 9 + 13 ⋅cosα. cosα = -√-−28√---= −-28-= −0,28. 2 10⋅5 10 100

Ответ: -0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#74703Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $⃗ 2b− ⃗a.$

$⃗ 110xy⃗ab$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

$pict$

Тогда имеем:

⃗ ⃗r = 2b− ⃗a= {2⋅(−2)− 6;2 ⋅(− 7)− 10}= {− 10;− 24}.

Следовательно, длина вектора $⃗r$ равна

∘-----2------2 |⃗r|= (− 10) + (−24) = 26.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#74704Максимум баллов за задание: 1

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $⃗ ⃗a − 2b.$

$⃗ 110xy⃗ab$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

$pict$

Тогда имеем:

⃗ ⃗r = ⃗a− 2b= {5− 2⋅(−2);−2− 2⋅5}= {9;−12}.

Следовательно, длина вектора $⃗r$ равна

∘-2-------2 |⃗r|= 9 + (−12) = 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#73604Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(3;−1),$ $⃗b(2;0)$ и $⃗c(4;c0).$ Найдите $c0,$ если $(⃗a− ⃗b)⋅⃗c= 0.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора

⃗r =⃗a− ⃗b= {3− 2;− 1− 0}= {1;− 1}.

Скалярное произведение векторов $⃗d(x1;y1)$ и $⃗e (x2;y2)$ равно

⃗d⋅⃗e= x x + yy . 1 2 12

Тогда получаем

⃗r⋅⃗c= 0 1⋅4+ (−1)⋅c0 = 0 c0 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#74705Максимум баллов за задание: 1

Даны векторы $⃗a(− 4;− 1),$ $⃗b(0;−2)$ и $⃗c(c0;− 5).$ Найдите $c0,$ если $(⃗ ) ⃗a ⋅ b− ⃗c = 0.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора

⃗r =⃗b− ⃗c = {0 − c;−2− (−5)}= {−c ;3}. 0 0

Так как скалярное произведение векторов $⃗d(x1;y1)$ и $⃗e(x2;y2)$ равно

⃗d⋅⃗e= x x + yy , 1 2 12

то

⃗a⋅⃗r =0 −4⋅(−c0)+ (− 1)⋅3= 0 4c0 − 3 = 0 c =0,75 0

Ответ: 0,75