Тема 2. Задачи на векторы

2.03 Задачи №2 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99564

Даны векторы $⃗a(16;−0,4)$ и $⃗b(2;5).$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= 16⋅2 +(−0,4)⋅5= 32− 2= 30.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99565

Даны векторы $⃗a(− 8;0,5)$ и $⃗b(5;24).$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a ⋅b = (− 8) ⋅5 +0,5⋅24= −40 +12 =− 28.

Ответ: -28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99566

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите длину вектора $5⃗b− ⃗a.$

$02346235⃗a⃗bxy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Тогда

5⃗b− ⃗a= {5⋅(−1)− 2;5⋅5− 1}= {−7;24}.

Следовательно,

| | ||5⃗b− ⃗a|| =∘ (−7)2+-242-= √252 = 25.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99567

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите длину вектора $6⃗a− ⃗b.$

$01235134⃗a⃗bxy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Тогда

6⃗a− ⃗b= {6⋅3− (−2);6⋅(− 3)− (− 3)} ={20;−15}.

Следовательно,

| | ||6⃗a− ⃗b||= ∘202-+(−15)2 = √252-=25.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99568

Даны векторы $⃗a(− 3;− 2)$ и $⃗b (3;b0).$ Найдите $b0,$ если $⃗a⋅⃗b= 0.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Поэтому

⃗a⋅⃗b =0 (−3)⋅3 +(−2)⋅b0 = 0 − 9− 2b0 = 0 b0 = − 4,5

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99569

Даны векторы $⃗a(− 5;− 2)$ и $⃗b (b0;−1).$ Найдите $b0,$ если $⃗a ⋅⃗b= 0.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Поэтому

⃗a⋅⃗b =0 (−5)⋅b0+ (− 2)⋅(− 1) =0 − 5b0+ 2= 0 b0 = 0,4

Ответ: 0,4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72006

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение $( ) ⃗a ⋅⃗b+⃗c .$

$110xy⃗a⃗b⃗c$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

$pict$

Тогда

⃗r =⃗b+⃗c= {−7;0}.

Следовательно,

⃗a⋅⃗r =− 6⋅(−7)+ 5⋅0= 42.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74689

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение $( ⃗) ⃗a+ b ⋅⃗c.$

$110xy⃗a⃗b⃗c$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

$pict$

Тогда

⃗r = ⃗a +⃗b ={− 6+ 7;0 +5} = {1;5}.

Следовательно,

⃗r⋅⃗c= 1⋅(−9)+ 5⋅5= 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#99570

Даны векторы $⃗a(− 6;− 8)$ и $⃗b(12;9).$ Найдите косинус угла между ними.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

С одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x x + yy , 1 2 12

а с другой стороны, оно равно

⃗a ⋅⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами.

Следовательно, в нашем случае имеем:

(−6)⋅12+ (− 8)⋅9= ∘ (−-6)2+-(−8)2⋅∘122-+92⋅cosα.

Тогда

cosα = −72−-72= − 144= −0,96. 10⋅15 150

Ответ: -0,96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#99571

Даны векторы $⃗a(− 14;2)$ и $⃗b(3;−21).$ Найдите косинус угла между ними.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

С одной стороны, скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x x + yy , 1 2 12

а с другой стороны, оно равно

⃗a ⋅⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα,

где $α$ — угол между этими векторами.

Следовательно, в нашем случае имеем:

(−14)⋅3+ 2⋅(−21)= ∘ (−-14)2+-22⋅∘32-+-(−-21)2⋅cosα.

Тогда

cosα= --−√42−-42√- =− -84-= − 0,28. 10 2⋅15 2 300

Ответ: -0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#71999

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $2⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b.$ Так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора, то

$pict$

Тогда $⃗ 2b= {− 10;−8}.$ Следовательно, так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат двух векторов, имеем

⃗a⋅2⃗b= − 4⋅(− 10)+(−9)⋅(−8)= 112.

Ответ: 112

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#74676

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $2⃗a$ и $⃗ b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

$pict$

Тогда $2⃗a ={8;−12}.$ Следовательно, так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат двух векторов, имеем

2⃗a⋅⃗b= 8 ⋅3+ (− 12)⋅7 = −60.

Ответ: -60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#72000

Даны векторы $⃗a(2;3)$ и $⃗b(− 3;b0).$ Найдите $b0,$ если $|⃗b|= 1,5|⃗a|.$ Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Так как длина вектора $⃗c(x;y)$ равна $∘ ------ |⃗c|= x2+ y2,$ то из условия $|⃗b|= 1,5|⃗a|$ получаем

∘----2---2 ∘ -2---2 (−3) + b0 = 1,5 ⋅ 2 + 3 9+ b20 = 2,25⋅13 b0 = ±4,5

Тогда меньшее значение $b0$ равно $− 4,5.$

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74677

Даны векторы $⃗a(4;−1)$ и $⃗b(b0;8).$ Найдите $b0,$ если $|⃗b|= 2,5|⃗a|.$ Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Так как длина вектора $⃗c(x;y)$ равна $∘ ------ |⃗c|= x2+ y2,$ то из условия $|⃗b|= 2,5|⃗a|$ получаем

∘ -2---2 ∘ -2-----2- b0+ 8 = 2,5 4 + (− 1) b20+ 64= 6,25 ⋅17 b0 = ±6,5

Следовательно, большее из этих значений равно 6,5.

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#72001

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $⃗a +⃗b +⃗c.$

$110xy⃗c⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

$pict$

Следовательно, координаты вектора

⃗r = ⃗a+ ⃗b+ ⃗c= {4+ 0− 8;−3+ 4+ 2}= {− 4;3}.

Следовательно, длина этого вектора равна

|⃗r|=∘ (−4)2+-32 = 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#74678

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $⃗ ⃗a +b +⃗c.$

$⃗ 110xy⃗ab⃗c$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

$pict$

Следовательно, координаты вектора

⃗r = ⃗a +⃗b +⃗c ={4 +9 − 1;4− 3− 6}= {12;−5}.

Следовательно, длина этого вектора равна

|⃗r|= ∘122+-(−5)2 = 13.

Ответ: 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72002

Даны векторы $⃗a(2;−5)$ и $⃗b(5;7).$ Найдите скалярное произведение векторов $0,6⃗a$ и $1,4⃗b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Скалярное произведение $0,6⃗a⋅1,4⃗b$ равно $( ) 0,6⋅1,4⋅ ⃗a ⋅⃗b .$ Следовательно, получаем

0,6⃗a⋅1,4⃗b= 0,84 ⋅(2⋅5 +(−5)⋅7)= 0,84 ⋅(− 25) =− 21.

Ответ: -21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#74679

Даны векторы $⃗a(2,2;− 4)$ и $⃗b(−1,25;− 1).$ Найдите скалярное произведение векторов $3⃗a$ и $4⃗b.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Скалярное произведение $(3⃗a)⋅(4⃗b)$ равно $3 ⋅4⋅(⃗a⋅⃗b).$ Следовательно, получаем

(3⃗a)⋅(4⃗b) =12 ⋅(⃗a⋅⃗b)= = 12 ⋅(2,2⋅(− 1,25)+ (−4)⋅(− 1)) =15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#72003

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координаты этих векторов — целые числа. Найдите $cosα,$ где $α$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$