Тема Изумруд

Многочлены и квадратные трёхчлены на Изумруде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#108450

Графики двух квадратичных функций, вершины которых имеют абсциссы $x,x 1 2$ и лежат на оси абсцисс, пересекаются в точках с абсциссами $x3,x4.$ На первом графике выбрали точку $M$ с абсциссой $x2,$ а на втором — точку $N$ с абсциссой $x1.$ Найдите абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью абсцисс.

Источники: Изумруд - 2020, 11.2 (см. izumrud.urfu.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку вершины графиков квадратичных функций лежат на оси абсцисс, то эти функции имеют вид

2 2 a(x− x1) и b(x− x2),

причём $a ⁄=0,b⁄= 0.$ Точки пересечения этих графиков найдём из уравнения

2 2 a(x − x1) = b(x − x2),

которое после преобразований примет вид

2 2 2 (a− b)x + (2bx2− 2ax1)x+ ax1− bx2 = 0.

По теореме Виета, корни уравнения $x3,x4$ удовлетворяют равенству

2bx2−-2ax1 x3+ x4 = b− a .

Из условия следует, что координаты точек $M$ и $N$ равны $( 2) x2;a (x2− x1)$ и $( 2) x1;b(x1− x2)$ соответственно. Уравнение прямой $MN$ имеет вид:

2 x−-x1-= ----y− b(x1−-x2)----. x2− x1 a(x2 − x1)2− b(x1− x2)2

Обозначим абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью абсцисс через $x0.$ При этом ордината этой точки равна нулю, то есть справедливо равенство

z0− x1 − b(x1− x2)2 x2− x1-= a(x2-− x1)2− b(x1−-x2)2,

и поскольку $x1 ⁄= x2$ (иначе бы графики пересекались в одной точке или совпадали), то последнее равенство равносильно равенству

-z0−-x1 =-−-b, x2 − x1 a − b

откуда

b(x2−-x1)+-(b− a)x1 bx2− ax1 x3+x4- x0 = b− a = b− a = 2 .

Ответ:

$x3+x4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73375

Максим написал на доске произвольный многочлен $P (x)$ с целыми коэффициентами. Антон, не глядя на доску, сказал, что какое бы натуральное число $n$ не назвал Максим, среди выражений $P (1),P (1)+ P(2),P(1)+ P(2)+P (3),...$ обязательно найдётся число, кратное $n.$ Прав ли Антон?

Показать ответ и решение

Заметим, что $P(x+n) ≡P (x) (mod n),$ это следует из того, что $(x +n)k ≡ xk (mod n)$ для любого $k.$ Рассмотрим сумму $2 P (1)+ P(2)+ ...+ P(n).$ Заметим, что в слагаемые в той сумме разбиваются на $n$ групп так, что в каждой группе слагаемые имеют вид $P(i+kn)$ ( $i,k ∈[0,n− 1]$ ) и дают одинаковый остаток при делении на $n.$ Но тогда сумма слагаемых в каждой группе кратна $n,$ потому что мы суммируем $n$ одинаковых остатков. Но тогда и вся рассмотренная сумма кратна $n.$