Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На продолжении стороны 
трапеции 
за точку 
отмечена точка 
точка 
— середина 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
и 
— в точке 
а 
и 
— в точке 
Докажите, что 
— середина
Подсказка 1.
Достаточно доказать, что отрезки AY и DX равны. Попробуйте это переформулировать с помощью точки M и гомотетии.
Подсказка 2.
Достаточно доказать, что гомотетия с центром в точке M и коэффициентом −1 переведёт отрезок AY в DX. Попробуйте придумать ещё один способ перевести отрезок AY в DX с помощью гомотетии или их композиции.
Подсказка 3.
Для этого способа используйте отрезок BC.
Подсказка 4.
Давайте рассмотрим две гомотетии. С центром в точке Q, переводящую AY в BC, и с центром в точке P, которая переводит BC в DX. Какую теорему осталось применить?
Подсказка 5.
Правильно! Теорему о 3 центрах гомотетии!
Три гомотетии, первая из которых переводит отрезок 
в 
вторая — 
в 
третья — 
в 
в композиции дают
преобразование, оставляющее каждую точку отрезка 
на месте.
Точки 
и 
являются центрами первой и третьей описанной гомотетии, а значит, по теореме о центре трех гомотетий центр
второй лежит на прямой 
т.е. совпадает с точкой 
следовательно, коэффициент этой гомотетии равен 
откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
