Первое решение. Пусть $S A$ — окружность, которая касается сторон $AB, AC$ и описанной окружности треугольника. Вершина $A$ является центром положительной гомотетии, которая переводит окружность $SA$ во вписанную окружность треугольника, а точка $TA$ — центром положительной гомотетии, переводящей $SA$ в описанную окружность треугольника.

Таким образом, в силу теорему о трех колпаках прямая $ATA$ проходит через центр положительной гомотетии, переводящей описанную окружность треугольника во вписанную. Аналогично, через нее проходят прямые $BTB$ и $CTC.$

Второе решение. Пусть $Γ (X)$ — образ точки $X$ под действием композиции инверсии с центром в точке $A,$ радиусом $√AB-⋅AC--$ и симметрии относительно угла $A.$ Несложно показать, что $Γ (B )= C$ и $Γ (C )=B.$ Окружность $(ABC )$ проходит через центр инверсии, следовательно, ее образ — прямая, проходящая через точки $Γ (B)$ и $Γ (C)$ — прямая $BC.$ Таким образом, образ $Sa$ касается прямых $AB,AC$ и касается прямой $BC$ — то есть является вписанной или вневписанной окружностью треугольника $ABC.$ Первое невозможно, например, в силу того, что $Sa$ касается отрезка $AB,$ а значит $Γ (Sa)$ касается продолжения отрезка $AC$ за точку $C.$

Наконец, $Γ (Sa)$ — вневписанная окружность, следовательно, точка $Ta$ переходит в точку касания образов описанной окружности и полувписанной окружности — точку $D,$ а значит, прямые $ATA,$ $BTB,$ $CTC$ пересекаются в одной точке, изогонально сопряженной точке Нагеля.

Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)