Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)

Обозначим через точку пересечения боковых сторон трапеции Тогда точка является центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей отрезок в отрезок По теореме о трех центрах гомотетии (теорема о трёх колпаках) точки лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через и докажем, что все такие прямые лежат в одной плоскости.

Для этого будем последовательно рисовать их. Сначала проведем прямые и они лежат в одной плоскости т.к. пересекаются в точке Прямая пересекает в точке а прямую — в точке поэтому она также лежит в плоскости Наконец, прямая пересекает прямую в точке а прямую — в точке так что и она лежит в плоскости

Итак, все четыре прямые лежат в одной плоскости, и в ней же лежат все шесть точек что и требовалось доказать.

Заметим, что прямые и попарно параллельны. Сделаем гомотетию с положительным коэффициентом в точке пересечения и переводящую в Теперь сделаем гомотетию с отрицательным коэффициентом в точке пересечения и переводящую в Наконец, сделаем гомотетию с отрицательным коэффициентом в точке пересечения и переводящую в Заметим, что композиция из этих трёх гомотетий перевела в себя, притом точка осталась неподвижной, значит композиция является тождественным преобразованием. Таким образом, три её центра лежат на одной прямой, что и требовалось. Случай, когда трапеция построена симметрично относительно прямой доказывается аналогично.

Рассмотрим три гомотетии: с центром в с коэффициентом — с центром в с коэффициентом с центром на отрезке и отрицательным коэффициентом, переводящую в Ясно, что эта композиция переводит в себя, притом точка остаётся неподвижной. Следовательно, преобразование тождественное, а значит и третья точка коллинеарны. Заметим, что третья точка лежит на и на значит это точка Тогда третья гомотетия, переводящая в была с коэффициентом чтобы перешла в Получается, при гомотетии в с коэффициентом перешла в то есть что и требовалось.

Пусть внешние касательные к и пересекаются в а к и — в Обе точки принадлежат прямой так как она есть общая внешняя касательная к парам этих окружностей.

Тогда по теореме о трех колпаках для окружностей с центрами точки лежат на одной прямой, по этой же теореме для окружностей с центрами на одной прямой лежит тройка То есть и точка и точка лежат на прямых и то есть являются их пересечением. Следовательно, эти точки просто совпадают.

Пусть и пересекаются в точке а и — в Обозначим окружности, вписанные в части, примыкающие к как соответственно. Пусть, вписанная окружность треугольника — это , докажем, что она касается второй касательной к через точку

Сначала пересечем общие внешние касательные к и в точке Тогда по теореме о трех колпаках точки лежат на одной прямой. Снова применим теорему о трех колпаках для тройки и получим, что и пересечение двух внешних касательных к также коллинеарны, но последняя точка должна принадлежать прямой так как эта прямая — одна из внешних касательных к и То есть точка пересечения касательных к этим окружностям лежит и на и на то есть лежит на их пересечении, а это точка

Но из точки мы уже знаем обе касательные к получаются они совпадают с общими внешними касательными к и Значит, касается что нам и требовалось.

Проведем вторую внешнюю касательную к вписанной и вневписанной первая у нас уже есть — это прямая Тогда эти касательные пересекутся на прямой в точке Тогда, используя теорему о трех колпаках для тройки окружностей вписанная вписанная и вневписанная получим, что лежат на одной прямой. То есть лежит и на и на Значит, — пересечение диагоналей. Но точка пересечения внешних касательных лежит на линии центров Значит, точка пересечения диагоналей лежит на линии центров, что и требовалось.