Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
на стороне 
отметили точку 
Пусть 
и 
и 
соответственно вписанные и вневписанные
(касающиеся 
) окружности треугольников 
и 
Докажите, что общие внешние касательные к 
и 
и 
пересекаются на прямой 
Подсказка 1.
Давайте обозначим через S точку пересечения второй внешней касательной к окружностям ω₁ и ω₂ и прямой BC. Что тогда можно сказать про точку S по отношению к этим окружностям?
Подсказка 2.
Ага! Она центр положительной гомотетии, которая переводит одну в другую. А что нам нужно доказать про эту точку?
Подсказка 3.
Правильно! Хотим, чтоб она была центром положительной гомотетии, которая переводит Ω₁ в Ω₂. Какая же теорема может в этом помочь?
Подсказка 4.
Верно! Теорема о 3 колпаках! Попробуйте рассмотреть и что-то понять про центр положительной гомотетии, которая переводит Ω₁ в ω₂.
Обозначим через 
точку пересечения общих касательных к окружностям 
и 
через 
— к окружностям 
и 
По
теореме о трёх колпаках для окружностей 
и 
точки 
являются центрами положительных гомотетий
для всех пар окружностей, а значит, лежат на одной прямой, то есть 
является точкой пересечения прямых 
и
.png)
То же верно для точки пересечения общих внешних касательных к окружностям 
и 
а значит, она совпадает с точкой
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
