Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан выпуклый четырёхугольник 
Лучи 
пересекаются в точке 
а лучи 
— в точке 
Из точек 
и 
внутрь углов 
и 
проведено ещё по два луча, разбивающие четырёхугольник 
на девять частей. Известно, что в части,
примыкающие к вершинам 
можно вписать окружность. Докажите, что в часть, примыкающую к вершине 
также можно
вписать окружность.
Подсказка 1.
Обозначим окружности, вписанные в части, примыкающие к B, C, D как ω_b, ω_c, ω_d соответственно. Пусть ω_a — вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, AD и второй касательной из точки Q к окружности ω_d. Хотелось бы, чтоб окружность ω_a касалась и 4 нужной прямой. Для начала давайте что-то понимать про окружность ω_a, например, про центры гомотетий, которые переводят окружность ω_a в какие-нибудь другие.
Подсказка 2.
На самом деле точка Q является центром положительной гомотетии, которая переводит ω_a в ω_d. А что же нам нужно тогда доказать?
Подсказка 3.
Ага! На самом деле достаточно показать, что P центр положительной гомотетии, которая переводит ω_a в ω_b. Какая же теорема нам может в этом помочь?
Подсказка 4.
Правильно! Теорема о 3 колпаках! Давайте попробуем её применить. Для этого попробуйте рассмотреть центр положительной гомотетии, которая переводит ω_b в ω_d, и что-то про него понять.
Обозначим окружности, вписанные в части, примыкающие к 
как 
соответственно. Пусть 
— вписанная окружность
треугольника, образованного прямыми 
и второй касательной из точки 
к окружности 
Пусть общие внешние касательные к 
и 
пересекаются в точке 
Тогда по теореме о трех колпаках точка 
лежит на прямой
Наконец, вновь по теореме о трех колпаках для окружностей 
точка пересечения внешних касательных к первым двум лежит
на прямой 
то есть совпадает с 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
