Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)

Пусть и пересекаются в точке а и — в Обозначим окружности, вписанные в части, примыкающие к как соответственно. Пусть, вписанная окружность треугольника — это , докажем, что она касается второй касательной к через точку

Сначала пересечем общие внешние касательные к и в точке Тогда по теореме о трех колпаках точки лежат на одной прямой. Снова применим теорему о трех колпаках для тройки и получим, что и пересечение двух внешних касательных к также коллинеарны, но последняя точка должна принадлежать прямой так как эта прямая — одна из внешних касательных к и То есть точка пересечения касательных к этим окружностям лежит и на и на то есть лежит на их пересечении, а это точка

Но из точки мы уже знаем обе касательные к получаются они совпадают с общими внешними касательными к и Значит, касается что нам и требовалось.