Три центра гомотетии (теорема о трёх колпаках)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан описанный четырёхугольник 
Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности
треугольника 
и центр вневписанной окружности треугольника 
касающейся стороны 
лежат на одной
прямой.
Подсказка 1.
Давайте обозначим вписанную окружность треугольника ABC из условия через ω, а вневписанную ADC за ω₂. Мы хотим доказать, что точка пересечения диагоналей ABCD лежит на линии центром этих окружностей. Попробуйте это переформулировать.
Подсказка 2.
Для этого обратите внимание, что эта точка лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям ω и ω₂, а именно, на AC.
Подсказка 3.
На самом деле достаточно доказать, что точка пересечения диагоналей является центром положительной гомотетии, которая переводит ω в ω₂. Осталось только применить одну теорему. Какую?
Подсказка 4.
Правильно! Теорему о 3 колпаках!
Применяя теорему о трёх колпаках к вписанной окружности 
вписанной окружности 
треугольника 
и
вневписанной окружности 
треугольника 
получаем, что общие внешние касательные к 
и 
пересекаются на
Поскольку 
— одна из этих касательных, то пересекаются они как раз в точке пересечения диагоналей 
Значит, эта точка
лежит на линии центров 
и 
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
