Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.01 Задачи №8 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#118846Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−2;20).$ Найдите количество точек экстремума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[1;15].$

$′ yxy110−20=2 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

График производной пересекает ось $Ox$ на отрезке $[1;15]$ в точках $2, 6, 8, 11, 14.$ Тогда функция имеет экстремумы в этих точках.

Таким образом, функция $f(x)$ имеет на отрезке $[1;15]$ пять точек экстремума.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#118847Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−19;2).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−14;0].$

$′ yxy10−2 =19f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

График производной пересекает ось абсцисс на отрезке $[− 14;0]$ сверху вниз один раз при $x= − 11.$ То есть производная меняет знак с «+» на «–» при переходе через эту точку слева направо.

Тогда на этом отрезке у функции $f(x)$ одна точка максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#118848Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ На оси абсцисс отмечено шесть точек: $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x5,$ $x6.$ В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ положительна.

$yxy0xxxxxx =123456 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

Точки $x1, x3$ принадлежат промежуткам возрастания функции $f(x).$

Тогда в точках $x1, x3$ производная функции больше 0 и таких точек две.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#118861Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x5,$ $x6,$ $x7,$ $x8,$ $x9,$ $x10,$ $x11,$ $x12.$ В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

$yxyxxxxxxxxxxxx =123456789111012f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

Точки $x3, x5, x6, x8, x9, x10, x11, x12$ принадлежат промежуткам убывания функции $f(x).$

Тогда в точках $x3, x5, x6, x8, x9, x10, x11, x12$ производная меньше 0 и таких точек восемь.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#118849Максимум баллов за задание: 1

Прямая $y =5x − 8$ является касательной к графику функции $y = 6x2+ bx+ 16.$ Найдите $b,$ учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

Если $yk = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x0$ , то выполняется следующее:

{k =f ′(x ) 0 yk(x0) =f(x0)

Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему:

{ 5= 12x0+ b2 5x0− 8= 6x0+ bx0 +16 { b= 5− 12x02 5x0− 8= 6x0+ (5 − 12x0)x0+ 16 {b = 5− 12x 2 0 6x0 = 24

Из этой системы получаем $x0 = ±2.$ Так как по условию абсцисса точки касания больше 0, то $x0 = 2.$ Отсюда окончательно

b = 5− 12 ⋅2= −19

Ответ: -19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#118850Максимум баллов за задание: 1

Прямая $y =5x − 9$ является касательной к графику функции $y = 20x2− 15x+ c.$ Найдите $c.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

Если $yk = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x0,$ то имеем систему

{k =f ′(x0) y (x) =f(x ) k 0 0

Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему:

{ 5= 40x0− 152 5x0− 9= 20x0− 15x0 +c ({ 1 x0 = 2 ( c= − 20x20+ 20x0− 9

Таким образом,

(1)2 1 c =− 20⋅ 2 + 20⋅2 − 9 = = − 5+ 10 − 9= −4

Ответ: -4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#118851Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ , определённой на интервале $(−1;13)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна прямой $y = − 2$ .

$yxy10−13=1 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Касательная параллельна прямой $y = −2$ , когда её угловой коэффициент равен 0, так как $y = − 2$ — горизонтальная прямая. Это происходит в точках экстремума функции.

Точки экстремума: $0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12,$ то есть таких точек девять.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#118852Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−11;2).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна прямой $y = − 4.$

$yxy10−2 =11f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

Касательная параллельна прямой $y = −4$ , когда её угловой коэффициент равен 0, так как $y = − 4$ — горизонтальная прямая. Это происходит в точках экстремума функции.

Точки экстремума: $− 8,−5,−4,−3,−1, 0, 1,$ то есть таких точек семь.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#118862Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−7;7).$ Найдите сумму точек экстремума функции $f(x).$

$yxy10−77=f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция $f(x)$ достигает локально минимальных значений в точках $− 4,− 1, 1, 3,$ а локально максимальных значений в точках $− 5,−3, 0, 2, 6.$

Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна

− 4+ (− 1)+1 +3 +(− 5) +(−3)+ 0+ 2+ 6= − 1.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#118863Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−9;5).$ Найдите сумму точек экстремума функции $f(x).$

$yxy10−5 =9 f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция $f(x)$ достигает локально минимальных значений в точках $− 5,− 3, 0,$ а локально максимальных значений в точках $− 7,− 4,− 1, 2.$

Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна

− 5+ (−3)+ 0+ (− 7)+(− 4)+ (−1)+ 2= − 18.

Ответ: -18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#118854Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $− 2,$ $− 1,$ 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

$xy−−12 21$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Точки $x= 1$ и $x =2$ принадлежат промежуткам возрастания функции, следовательно, угловой коэффициент касательной положителен, то есть производная положительна.

Точка $x= −2$ — точка минимума, следовательно, производная равна нулю.

Точка $x = −1$ принадлежит промежутку убывания функции, следовательно, угловой коэффициент касательной отрицателен, то есть производная отрицательна.

Таким образом, понятно, что производная в точке $x = −1$ будет наименьшая.

Ответ: -1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#19179Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график $y = f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $− 2,−1, 1, 4.$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

$xy1−−412$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Производная в точке равна угловому коэффициента касательной к графику функции в этой точке.

Точки $x= −2$ и $x= 1$ принадлежат промежуткам убывания функции, следовательно, угловой коэффициент касательной отрицателен, то есть производная отрицательна.

Точки $x= −1$ и $x = 4$ принадлежат промежуткам возрастания функция, следовательно, угловой коэффициент касательной положителен, то есть производная положительна.

Касательная в точке $x = 4$ имеет больший наклон, чем касательная в точке $x = −1.$ Таким образом, понятно, что производная в точке $x= 4$ будет наибольшая.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#118855Максимум баллов за задание: 1

Материальная точка движется прямолинейно по закон $x(t)= − 13t3+ 4t2 − 3t+ 15,$ где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t= 7$ с.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Найдём функцию скорости как производную функции $x :$

′ 2 v(t)= x (t)= −t + 8t− 3

Найдём скорость при $t= 7$ с в метрах в секунду:

2 v(7) =− 7 + 8⋅7− 3= −49 +56 − 3 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#118856Максимум баллов за задание: 1

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= − 12t4+ 4t3− t2− t+ 14,$ где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t= 5 c.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Найдём функцию скорости как производную функции $x :$

′ 3 2 v(t)= x (t)= −2t + 12t − 2t− 1

Найдём скорость при $t= 5$ с в метрах в секунду:

3 2 v(5)= −2⋅5 + 12⋅5 − 2⋅5− 1= − 250 +300 − 10− 1 =39

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#118857Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−9;6).$ Найдите промежутки убывания функции $f(x).$ В ответе укажите длину наибольшего из них.

$yxy10−6 =9 f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

График производной лежит не выше оси $Ox$ при $x$ от $− 9$ до $− 8,$ от $− 3$ до $− 1$ и от 5 до 6.

Тогда функция убывает на этих промежутках и наибольшую длину имеет промежуток от $− 3$ до $− 1:$

− 1− (−3)= −1+ 3 =2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#17133Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−1;17).$ Найдите промежутки возрастания функции $f(x).$ В ответе укажите длину наибольшего из них.

$xyy1−1071= f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Если производная $y = f′(x)$ положительна на промежутке $(a;b),$ то функция $y = f(x)$ на этом промежутке возрастает. Следовательно, нам необходимо определить по графику те промежутки, которые соответствуют частям графика $′ y = f(x),$ находящимся выше оси $Ox.$

Это промежутки $(0;3),$ $(6;10)$ и $(16;17).$ Таким образом, функция возрастает на промежутках $[0;3],$ $[6;10]$ и $[16;17).$ Наибольшую длину, равную 4, имеет промежуток $[6;10].$

Ответ: 4