Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.02 Задачи №11 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#73812Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= c +d. x$ Найдите ординату точки пересечения графиков этих функций.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точки $(2;3)$ и $(6;1).$ Следовательно, эти точки удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

(| k { 3= 2 |( k 1= 6 k = 6 f(x)= -6 x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(1;1)$ и $(3;−1),$ следовательно, система следующая:

(| c { 1= 1 +d |( −1= c + d 3 {c = 3 d = −2 g(x)= 3 − 2 x

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

6 = 3 − 2 x x 3 = −2 x x =− 3 2

Тогда ордината точки пересечения графиков равна

( 3) 6 f − 2 = -3-= −4. −2

Ответ: -4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#73813Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= c +d. x$ Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

$120xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точку $(4;−3).$ Следовательно, эта точка удовлетворяет уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

k 12 −3 = 4 ⇔ k = −12 ⇒ f(x)= −-x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(2;−1)$ и $(4;0),$ следовательно, система следующая:

( |{ −1 = c+ d ({ c= −4 c2 ⇔ ⇒ g(x)= − 4+ 1 |( 0= 4 + d ( d= 1 x

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

− 12= − 4+ 1 ⇔ − 8 =1 ⇔ x= −8 x x x

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#73816Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $f(x) =ax2 +bx+ c.$ Найдите $c.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

График проходит через точки $(3;−1),$ $(5;− 3)$ и $(6;2).$ Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

( |||{ −1 = 9a + 3b +c −3 = 25a +5b+ c |||( 2= 36a+ 6b+ c

Выразим $c$ из первых двух уравнений и приравняем:

−1− 9a− 3b= −3 − 25a− 5b b= −1− 8a

Подставим это $b$ в первое и третье уравнения:

( ( { −1 = 9a − 3− 24a +c { a= 2 ( ⇔ ( 2= 36a− 6− 48a+ c c= 32

Тогда $c =32.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#73818Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите ординату точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью ординат.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

Ордината точки пересечения графика функции $y = ax2+ bx + c$ с осью ординат равна свободному члену, то есть $c.$

График проходит через точки $(−8;0),$ $(− 6;4)$ и $(−4;−4).$ Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

( ||| 0= 64a− 8b+ c { ||| 4= 36a− 6b+ c ( −4 = 16a − 4b+ c

Прибавим первое уравнение к третьему, а второе умножим на 2:

( |||0= 64a− 8b+ c { |||8= 72a− 12b+ 2c (−4 = 80a − 12b+ 2c

Вычтя из третьего уравнения второе, получим

3 a =− 2

Выразим $c$ из исходных первого и третьего уравнений и приравняем:

8b− 64a= 4b− 16a − 4 b= 12a− 1= − 19

Тогда

( ) c= 4⋅(− 19)− 16 ⋅ − 3 − 4= − 56. 2

Ответ: -56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#14251Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $f(x)= ax+2.$ Найдите $f(6).$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целая точка $(0;2)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить уравнение:

f(0)= 2 a0+2 = 2 2 a =√2 a= 2

Значит, функция имеет вид

(√ -)x+2 f(x) = 2 .

Осталось найти $f(6):$

f(6)= (√2)6+2 = (√2)8 = 24 = 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#47420Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax−2.$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 27.$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

Заметим, что график проходит через точку $(1;3).$ Следовательно, можно составить уравнение:

3= a1−2 a= 1 3

Значит, функция задается уравнением

( )x−2 f(x)= 13 .

Теперь нужно решить уравнение

(1)x −2 3 = 27 ( ) ( ) 1 x− 2 1 −3 3 = 3 x = −1

Ответ: -1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#46562Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций $f(x) =a√x-$ и $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

По картинке видим, что точка $(4;3)$ принадлежит графику функции $f(x),$ следовательно,

f(4)= 3 √- a 4 = 3 a= 3 2

Значит,

3√ - f(x)= 2 x.

Посмотрим теперь на график функции $g(x).$ Это прямая, которой принадлежат точки $(−4;−4)$ и $(4;0).$ Найдем угловой коэффициент:

k = 0-− (−-4) = 1. 4 − (− 4) 2

Найдем $b,$ подставив в уравнение $g(x)$ точку $(4;0)$ и $k = 1: 2$

g(4) =0 1⋅4+ b= 0 2 b = −2

Значит,

g(x)= 1x − 2. 2

Найдем $x0,$ приравняв $f(x0)$ и $g(x0):$

$pict$

Тогда

y = g(x )= 1x − 2= 16-− 2= 6. 0 0 2 0 2

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#23739Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций $√ - f(x)= a x$ и $g(x)= kx+ b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$110xyAB$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

Найдём уравнение функции $g(x).$ По графику видно, что $k = 1,$ поскольку функция увеличивается на 7 при увеличении аргумента на 7. Также прямая проходит через точку $B (4;5),$ откуда имеем:

g(4) =5 1⋅4+ b= 5 b= 1

Тогда уравнение прямой имеет вид

g(x)= x+ 1.

Найдём уравнение функции $f(x).$ Подставим точку $B (4;5)$ на графике в уравнение функции:

f(4)= 5 2a= 5 a = 2,5

Тогда уравнение корня имеет вид

f(x)= 2,5√x

Найдём координаты точек пересечения графиков, приравняв функции:

g(x)= f(x) x+ 1= 2,5√x-

Сделаем замену $- t =√ x$ и получим квадратное уравнение:

t2 − 2,5t+1 = 0 2 2t − 5t+ 2 =0 D = 52− 4 ⋅2⋅2= 52− 42 = 32 5±-3 1 t= 4 = 2 ; 2

Сделаем обратную замену и получим совокупность

[ [ t= 0,5 ⇔ x= 0,25 t= 2 x= 4

Точке $B$ соответствует абсцисса $x= 4,$ тогда точке $A$ соответствует абсцисса $x= 0,25.$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#14250Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $f(x) =loga(x − 2).$ Найдите $f(10).$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целая точка $(4;−1)$ принадлежит графику функции $f(x),$ поэтому можем составить уравнение. Сразу заметим, что $a ⁄= 1,$ $a> 0,$ иначе $logax$ неопределён. Итак,

f(4)= − 1 loga(4− 2)= −1 loga2 = −1 aloga2 = a−1 1 2 = a a = 1 2

Тогда функция имеет вид

f(x) =log12(x− 2)= − log2(x − 2).

Значит,

f(10)= − log2(10− 2)= − log28= − 3.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#32197Максимум баллов за задание: 1

Ha рисунке изображён график функции $f(x)= loga(x+ 3).$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= 16.$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целая точка $(1;4)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить уравнение. Также заметим, что $a ⁄= 1,$ $a> 0,$ иначе $logax$ неопределён. Итак,

f(1)= 4 loga(1+ 3) =4 loga4 4 a = a 4= a4 a= √2

Значит, функция имеет вид

√- f(x)= log 2(x +3).

Тогда

f(x) = 16 log√2(x+ 3)= 16 ( √-)log√2(x+3) (√-)16 2 = 2 x+ 3 =256 x= 253

Ответ: 253

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#100218Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — целые. Найдите $f(− 5).$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Найдём уравнение функции $f(x).$ Её график проходит через точки $(2;1),$ $(4;−3)$ и $(5;− 2),$ значит, координаты этих точек обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. В частности,

f(2)= 1 a⋅22+ b⋅2+ c= 1 4a+ 2b+ c= 1

Также

f(4)= −3 a⋅42+ b⋅4+ c= − 3 16a+ 4b+ c= −3

Аналогично

f(5)= −2 a⋅52+ b⋅5+ c= − 2 25a+ 5b+ c= −2

Таким образом, имеем систему из трех уравнений:

$pict$

Получили, что

f(x)= x2− 8x+ 13.

Значит,

f(−5)= (−5)2− 8⋅(−5)+ 13= 25+ 40+ 13= 78.

Ответ: 78

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#19949Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — целые. Найдите $f(− 9).$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты вершины параболы. По графику видно, что $x0 =− 4,$ $y0 = 2.$ Тогда уравнение параболы принимает вид

2 f(x)= a(x +4) + 2.

Найдём $a,$ подставив точку графика $(−3;1)$ в уравнение параболы:

1 = f(− 3)= a(− 3+ 4)2+ 2 a = −1

Получим уравнение параболы в виде

f(x) = −(x+ 4)2+ 2.

Тогда имеем:

f (− 9) = −(−9+ 4)2+2 = −25+ 2= − 23.

Ответ: -23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#32267Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $f(x) = k+ a. x$ Найдите $f(−8).$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ функции $f(x)$ отвечает за сдвиг горизонтальной асимптоты. По картинке видно, что ею является прямая $y = −1,$ значит, $a = −1.$

Также по картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(−2;1),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(−2)= 1 ⇔ k--+a = 1 ⇔ − k − 1= 1 ⇔ k =− 4 −2 2

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

4 f(x) =− x − 1

Найдем $f(− 8):$

f(− 8)= −-4-− 1= 4 − 1= 1 − 1 = −0,5 − 8 8 2

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#14244Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $f(x) = k+ a. x$ Найдите, при каком значении $x$ значение функции равно 7.

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

График функции $f(x)= k+ a x$ — это гипербола $y = k, x$ сдвинутая на $a$ вдоль оси $Oy.$ По рисунку видно, что гипербола сдвинута на 2 вверх, так как горизонтальная асимптота имеет вид $y = 2.$ Следовательно, $a= 2.$

Также точка $(−2;1)$ принадлежит графику функции $f,$ поэтому можем найти $k :$

f(−2)= 1 -k-+ 2= 1 −2 k =2

Значит, функция имеет вид

f(x)= 2+ 2. x

Осталось найти $x,$ при котором значение функции равно 7:

$pict$

Ответ: 0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#32270Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций $f(x) = ax2 +bx +c$ и $g(x)= kx+ d,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$xy110A$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Восстановим уравнение функции $f(x).$ По картинке видно, что её график проходит через три целые точки: $(−2;−2),$ $(0;−4)$ и $(1;1).$

Так как график $f(x)$ проходит через точку $(0;−4),$ то имеем уравнение:

f(0)= −4 ⇔ a ⋅02+ b⋅0 +c =− 4 ⇔ c= −4

Так как график $f(x)$ проходит через точку $(1;1),$ то имеем уравнение:

f(1)= 1 ⇔ a⋅12+ b⋅1+ c= 1 a + b− 4 = 1 ⇔ a+ b= 5

Так как график $f(x)$ проходит через точку $(−2;−2),$ то имеем уравнение:

2 f(− 2) =− 2 ⇔ a⋅(−2) + b⋅(− 2)+ c= −2 4a − 2b− 4 =− 2 ⇔ 2a− b= 1

Решим систему из двух уравнений:

{ { a+ b= 5 ⇔ b= 5− a 2a− b= 1 2a − (5− a)= 1 { { { b= 5− a ⇔ b= 5− a ⇔ a= 2 2a− 5+ a= 1 3a= 6 b= 3

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции $f(x):$

f(x)= 2x2+ 3x− 4

Восстановим уравнение функции $g(x).$ По картинке видно, что её график проходит через целые точки $(−2;−2)$ и $(− 1;2).$ Значит, можем составить систему из двух уравнений:

{ { g(−2)= − 2 −2k +d = −2 g(−1)= 2 ⇔ −k + d= 2 { { { d = 2k − 2 ⇔ k + 2= 2k− 2 ⇔ k = 4 d = k+ 2 d = k+ 2 d= 6

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции $g(x):$

g(x) = 4x + 6

Найдем координаты точек пересечения графиков этих функций:

2 2 2x + 3x− 4= 4x+ 6 ⇔ 2x − x − 10 =0 [ (x+ 2)(2x− 5)= 0 ⇔ x = −2 x = 2,5

Точке $A$ соответствует абсцисса $x= −2,$ тогда точке $B$ соответствует абсцисса $x= 2,5.$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#45222Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображены графики функций $f(x) = 3x + 3$ и $g(x)= ax2+ bx+ c,$ которые пересекаются в точках $A(−1;0)$ и $B (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$xy110A$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Парабола на рисунке получается из параболы $y =x2$ отражением относительно оси абсцисс с получением параболы $2 y =− x ,$ поднятием на 1 вверх с получением параболы $2 y = −x + 1$ и сдвигом влево на 2 с получением параболы $y = −(x+ 2)2+ 1.$ Следовательно, ее уравнение