.01 Выпуклость и неравенства

Будем доказывать индукцией по .

1. База индукции. При у нас единственный вес , и поэтому неравенство обращается в тривиальное ;

Заметим, что при мы получаем неравенство

в точности являющееся определением выпуклости на интервале .

2. Шаг индукции. Пусть всё верно для . Докажем для .

То есть фактически нам нужно доказать, что

Сделаем такую хитрость. Ясно, что

И тогда, коль скоро по предположению индукции мы верим, что неравенство Йенсена верно для сумм из слагаемых, то мы можем им воспользоваться

(здесь мы считали выражение

за одно единое слагаемое, и поэтому смогли воспользоваться предположением индукции - и в левой и в правой части у нас по слагаемых)

Однако ж теперь примем во внимание, что раз была выпукла, то

С учетом этого продолжим писать начатую ранее цепочку неравенств:

Но ровно это и требовалось доказать.