Логарифмы на ИТМО

Приведём сначала пример, для которого достигается это число: — любое натуральное число, большее

Переупорядочим наши числа по возрастанию: Тогда: Соответственно,

К сожалению, мы не можем сказать, что потому что при этом нарушается общность: соседние по возрастанию элементы не обязательно идут подряд.

Однако, поскольку от циклического сдвига переменных ничего не поменяется, мы можем считать, что Выделим среди чисел самую длинную возрастающую последовательность. Если точнее — первый из элементов больший — первый из элементов, следующих за больший и так далее. Последним элементом этой подпоследовательности будет — наибольшее среди всех чисел.

Рассмотрим в нашей сумме логарифмов только те логарифмы, аргументами которых являются числа На самом деле, это все логарфимы из искомой суммы, большие единицы. Основания этих логарифмов назовём и запишем их сумму:

Это неравенство верно, поскольку из определения — первый после элемент последовательности больший, чем значит, все элементы, находящиеся в последовательности между и (если они есть) меньше, чем

Далее,

Все — натуральные числа, не меньшие поэтому для любого их набора произведение не меньше суммы. Значит,

а вся сумма из условия тем более не меньше

При этом если какое-то из больше сумма логарифмов получается больше, чем в приведённом примере. Значит, если существует какой-то меньший пример, все для него также должны быть равны и

Однако из этого не следует автоматически, что все логарифмы из этой суммы равны поскольку и в этом месте некоторые из наших неравенство обращаются в равенства. Значит, в нашей сумме логарифмов, больших единицы, есть только двойки и четвёрки.

Кроме того, в искомой сумме есть как минимум один логарифм, меньший единицы — это логарифм по самому большому основанию. Он точно не меньше, чем что доказывает оценку.