Логарифмы на ИТМО

Запишем операцию Васи в более удобном виде:

Поэтому

Теперь нужно применить это для вычисления, попутно воспользовавшись свойством логарифмов

Обозначим и Тогда в числителе написано

а в знаменателе . В результате дробь равна 2.

Пусть четыре исходные числа - это . Обозначим . Тогда , то есть наши шесть логарифмов равны и Наибольший из них при этом и именно его нам надо найти.

Заметим, что среди наших четырёх логарифмов ни один не является произведением двух других. Это значит, что в каждой тройке отсутствует хотя бы одно число. Каждое из шести чисел встречается ровно в двух из этих троек, значит, чтобы “разрушить” все тройки, надо удалить два числа, которые вместе в одной тройке не встречаются, то есть, числа, которых мы не знаем, это либо и , либо и , либо и .

Соответственно, у нас есть одна из четвёрок и . Третий вариант невозможен, потому что ни одно из наших четырёх чисел не является произведением трёх других. Для того, чтобы четвёрка чисел могла соответствовать первому или второму вариантам, необходимо и достаточно, чтобы произведение двух чисел было равно произведению двух оставшихся. Это условие выполняется: .

В первом случае мы имеем , и — это наибольшее из наших четырёх чисел. Во втором случае и — это как раз искомое произведение. Значит, мы имеем два возможных ответа: и

Запишем ОДЗ:

Сделаем замену:

Заметим, что

Тогда получаем:

Выразим искомую величину и обозначим ее за

Сделаем преобразования:

Возведем второе уравнение в квадрат:

Раскроем скобки у первого уравнения:

Выразим :

Подставим :

Докажем, что если подходит то тоже подходит.

Пусть вместо у нас Тогда после замены мы получим и следовательно, Но если у нас то в первой системе все останется как есть, так как и превратятся в и а во втором уравнении знак минус пропадет, так как там перемножаются и Следовательно, при изменении исходная система верна, а поменяет знак. Значит, если подходит то тоже подходит.