Многочлены и квадратные трёхчлены на Звезде

Подсказка 1

Хотим получить оценку снизу. Воспользуемся условием неотрицательности функции, а также тем, что она представлена квадратным уравнением. Какие условия из этого можем получить?

Подсказка 2

Отсюда возникают условия на дискриминант (меньше либо равен 0), а также на положительность коэффициента при старшей степени. Отсюда легче всего получить оценку снизу именно для b (для a тоже можно, но выражение будет неприятнее).

Подсказка 3

Теперь в искомом выражении заменим b на нашу оценку снизу. Однако можно заметить, что у нас все ещё остаются слагаемые с a. попробуем их тоже как-то оценить снизу. Как можно аккуратно это сделать?

Подсказка 4

На данном этапе у нас есть дробь, в числителе и знаменателе которой есть слагаемые с a. Хотим оценить её снизу. Обратим внимание на то, что (если не было совершено арифметических ошибок), в числителе дроби выражение имеет вид xa² + 1. Тогда знаем, что можно оценить его снизу как xa² + 1 ≥ √(xa²). Это возможно как раз из-за того, что для любых xa² ≥ 1 выполняется даже xa² ≥ √(xa²), а в случае xa² < 1 имеем, что и √(xa²) < 1, поэтому 1 + xa² > √(xa²). После такой оценки выражение уже не зависит от а и имеет точное значение. Оно и будет наименьшим.