Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования и системы на Бельчонке

Тема Бельчонок

Тождественные преобразования и системы на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#129927Максимум баллов за задание: 7

Четыре бельчонка изучали арифметику. Каждому из них назвали одинаковую пару ненулевых чисел $(a,b).$ Первый бельчонок поделил $a$ на $b,$ второй перемножил свою пару чисел, третий вычел $b$ из $a,$ четвёртый сложил свои числа. Оказалось, что полученные ими результаты образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке). Найдите все возможные пары чисел $(a,b).$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Благодаря двум последним членам прогрессии мы можем узнать разность. Как ей следует воспользоваться?

Подсказка 2

Но ведь нам сказано, что числа из условия упорядочены! Составьте систему уравнений, описывающую прогрессию.

Подсказка 3

Из полученных уравнений нетрудно найти b, подставьте его и найдите a.

Показать ответ и решение

Числа $a, b$ $ab,$ $a− b$ и $a+ b$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $a+ b− (a− b)=2b.$ Сразу заметим, что $b⁄= 1,$ так как иначе первые два члена прогрессии совпадали бы. Запишем систему уравнений:

(| a { b +2⋅2b= a− b |( ab+2b= a− b

( |{ a = a− 5b | b ( ab= a− 3b

(| 3b 3b ||{ b(1−-b)-= 1− b-− 5b || 3b |( a = 1− b

(| 3b(1− b)= −5b2(1− b) { |( a= -3b- 1− b

Поделим первое уравнение системы на $b(1− b):$

( ||{ b= − 3 5 ||( a = 3b--=− 9 1− b 8

Ответ:

$(− 9;− 3) 8 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#137265Максимум баллов за задание: 7

Последовательность задана условиями $a =20, 1$ $a = 24, 2$ $a ⋅a =a + 1 n n+2 n+1$ при всех $n ≥1.$ Найдите $a . 2024$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 1, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте с помощью данной формулы вычислить еще несколько членов в общем виде.

Подсказка 2

Обратите внимание, как выражается aₙ₊₅.

Подсказка 3

Заметьте, что aₙ₊₅ = aₙ.

Подсказка 4

Соответственно, a₂₀₂₄ = a₄. Осталось вычислить a₄ по заданной в условии формуле.

Показать ответ и решение

Узнаем с помощью формулы из условия, как будет выглядеть $a n+4$ :

an+2+1+ 1 an+4 = an+3+-1=-an+1----= an+1+-an+2+1 = an+1+1-⋅ an+2+1-− 1 =anan+3− 1 an+2 an+2 an+1an+2 an+2 an+1

Следовательно,

an+4+-1 an+4an+3 an+5 = an+3 = an+3 = an

при всех $n.$ Значит,

a + 1 a + 1 a + a + 1 20+ 24+1 45 3 a2024 =a4 =-3a2-= -2a1-= -1-a1a22---= --20⋅24---= 480-= 32

Ответ:

$-3 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#137270Максимум баллов за задание: 7

Последовательность чисел $a ,a,...,a 1 2 2024$ такова, что $a =a 1 2024$ и $a + a − 1 =a2 n n+1 n+1$ при всех целых $n$ от 1 до 2023. Найдите $a2000.$

Источники: Бельчонок - 2024, вариант 4, 10.1 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Исследуйте последовательность на монотонность. Для этого попробуйте преобразовать представленное в условии равенство, связывающее n-ый и (n+1)-ый члены.

Подсказка 2

Выделите из этого равенства полный квадрат.

Подсказка 3

Вспомните, что по условию a₁ = a₂₀₂₄.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что

2 an− an+1 = (an+1− 1)≥ 0

Но тогда

a1 ≥ a2 ≥...≥a2024

Так как $a1 = a2024,$ то все неравенства обращаются в равенства, следовательно, все $ai$ равны 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74657Максимум баллов за задание: 7

Найдите целую часть числа

---1--- ---1--- -----1---- √1 +√2-+ √3+ √4 +⋅⋅⋅+√623-+√624

Источники: Бельчонок-2022, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Гораздо удобнее работать с целочисленными знаменателями-> что нужно сделать, чтобы они стали именно такими? Попробуем оценить число А другим число так, чтобы нам было удобно оценивать их разность двумя способами. Тогда мы сможем прийти к оценке числа А!
----—

Подсказка 2

Рассмотрим число В такое, что оно получено из А циклическим сдвигом корней в знаменателях в А(т.е. в числе В первое слагаемое равно 1/(sqrt(2)+sqrt(3)). Как можно выразить В через А и как оценить их разность?

Подсказка 3

А+В=24(почему?). Теперь мы можем оценить их разность, группируя соответствующие слагаемые.

Подсказка 4

Их разность меньше 1, а сумма равна 24. Осталось ли ль сделать соответствующие выводы)

Показать ответ и решение

Обозначим

--1---- ---1--- ----1----- A = √1+ √2 +√3-+ √4 + ⋅⋅⋅+ √623+ √624

Возьмём число

B = √--1√--+ √-1-√-+ ⋅⋅⋅+ √---1-√--- 2+ 3 4+ 5 624+ 625

Число слагаемых одинаково, каждое слагаемое в $A$ больше соответствующего слагаемого в $B,$ поэтому $A > B.$ Избавимся от иррациональности в знаменателях:

A= √2-− √1-+√4 − √3+ ⋅⋅⋅+ √624− √623

B =√3-− √2-+ √5− √4+ ⋅⋅⋅+ √625− √624

Очевидно, $√ --- √- A+ B = 625 − 1 =24.$ Оценим $A − B.$

( ) ( A− B =√--1-√-− √--1-√-− √--1√-- − ⋅⋅⋅− √---1-√---− 1+ 2 2+ 3 3 + 4 622+ 623

− √---1-√---)− √---1-√---< √--1√--< 1 623+ 624 624+ 625 1+ 2

Подставим $B = 24 − A :$

A− 24+ A< 1,

отсюда $A < 12,5.$ Но $A > B,$ значит, $A >12.$ Следовательно, целая часть числа $A$ равна 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77812Максимум баллов за задание: 7

Найдите для всех натуральных $n >1$ положительные решения системы

{ x +2x + ⋅⋅⋅+ nx = 3 11+ -21-+⋅⋅⋅+-1n =3 x1 2x2 nxn

Источники: Бельчонок - 2022, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слишком много переменных, и еще они умножаются на коэффициенты какие-то. Попробуем вместо переменных x_i ввести y_i таким образом, чтобы нам стало приятнее жить. И для y_i уже можно что-то заметить.

Подсказка 2

Думаю, Вы догадались, что замена нужна такая: i*x_i = y_i. Тогда обращаем внимания, что во втором уравнении слагаемые - обратные величины к слагаемым первого. Что мы знаем про сумму положительного числа и его обратной величины?

Подсказка 3

Как с помощью этого неравенства мы можем отбросить из рассмотрения много случаев?

Подсказка 4

На этом этапе вам остается рассмотреть отдельно n = 2 и n = 3 и решить задачу для них. Здесь уже нет ничего сложного!!

Показать ответ и решение

Обозначим $y = kx k k$ и сложим уравнения системы:

( 1-) ( 1-) ( 1-) y1+ y1 + y2+ y2 + ...+ yn+ yn =6

Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: $a + 1a ≥ 2.$ Поэтому левая часть не меньше $2n,$ отсюда $n ≤3.$ При $n= 3$ каждое из слагаемых равно $2,$ отсюда $y1 =y2 = y3 = 1,$ и $x1 = 1,x2 = 12,x3 = 13.$ При $n =2$ получается система:

{ { x1+2x2 = 3, ⇒ 2x2 = 3− x1, 1x1-+ 12x2-=3. 1x1-+ 3−1x1-=3.

Решая последнее уравнение, получаем, что $3±√5 3∓√5 x1 =--2-,x2 =-4--.$

Ответ:

$x = 3±√5,x = 3∓√5 1 2 2 4$ при $n= 2;$

$1 1 x1 =1,x2 = 2,x3 = 3$ при $n= 3;$

при других $n$ решений не существует.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89287Максимум баллов за задание: 7

Для различных положительных действительных чисел $a,b$ справедливо равенство

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

Найдите значение выражения

13− a2b− b2a -2+-a2b+-b2a-

Источники: Бельчонок - 2020, 11 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично задаться целью узнать, чему равно (a^2)b+(b^2)a, ведь тогда посчитается искомое выражение. Что вообще можно сделать с равенством, которое дано?

Подсказка 2

Верно, знаменатели нам не полезны, поэтому домножим на них. Дальше логично перенести всё в одну часть и разложить на скобки.

Подсказка 3

Получаем (b-a)((a^2)b+(b^2)a-1)=0. a и b по условию не равны, следовательно нулю равна вторая скобка, цель достигнута, осталось посчитать ответ.

Показать ответ и решение

Из условия имеем: