Тождественные преобразования и системы на Бельчонке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите целую часть числа
Источники:
Подсказка 1
Гораздо удобнее работать с целочисленными знаменателями-> что нужно сделать, чтобы они стали именно такими? Попробуем оценить число А другим число так, чтобы нам было удобно оценивать их разность двумя способами. Тогда мы сможем прийти к оценке числа А!
Подсказка 3
А+В=24(почему?). Теперь мы можем оценить их разность, группируя соответствующие слагаемые.
Подсказка 4
Их разность меньше 1, а сумма равна 24. Осталось ли ль сделать соответствующие выводы)
Обозначим
Возьмём число
Число слагаемых одинаково, каждое слагаемое в 
больше соответствующего слагаемого в 
поэтому 
Избавимся от
иррациональности в знаменателях:
Очевидно, 
Оценим 
Подставим 
отсюда 
Но 
значит, 
Следовательно, целая часть числа 
равна 12.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите для всех натуральных 
положительные решения системы
Источники:
Подсказка 1
Слишком много переменных, и еще они умножаются на коэффициенты какие-то. Попробуем вместо переменных x_i ввести y_i таким образом, чтобы нам стало приятнее жить. И для y_i уже можно что-то заметить.
Подсказка 2
Думаю, Вы догадались, что замена нужна такая: i*x_i = y_i. Тогда обращаем внимания, что во втором уравнении слагаемые - обратные величины к слагаемым первого. Что мы знаем про сумму положительного числа и его обратной величины?
Подсказка 3
Как с помощью этого неравенства мы можем отбросить из рассмотрения много случаев?
Подсказка 4
На этом этапе вам остается рассмотреть отдельно n = 2 и n = 3 и решить задачу для них. Здесь уже нет ничего сложного!!
Обозначим 
и сложим уравнения системы:
Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: 
Поэтому левая часть не меньше 
отсюда 
При 
каждое из слагаемых равно 
отсюда 
и 
При 
получается
система:
Решая последнее уравнение, получаем, что 
при 
при 
при других 
решений не существует.
