Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что каждый из трёхчленов 
и 
имеет хотя бы по одному корню, и все корни этих трёхчленов целые.
Докажите, что трёхчлен 
корней не имеет.
Источники:
Подсказка 1
Если корни целые, то что можно сказать по теореме Виета? Верно, что коэффициенты также целые. А что можно сказать про дискриминант, если корни являются целыми?
Подсказка 2
Что он точный квадрат! Ну тогда пусть дискриминант первого - n^2, тогда, если дискриминант второго - m^2, то m^2 - n^2 = 4. А при каких натуральных m и n такое может быть?
Подсказка 3
Верно, только при n = 0, m = 2. Теперь явно запишем первый дискриминант через a и b. a^2 - 4b = 4. А чему равен тогда дискриминант третьего трехчлена?
Понятно, что 
и 
целые, так как выражаются через целые корни по теореме Виета. Для того, чтобы квадратный трёхчлен с
целыми коэффициентами имел целые корни, необходимо, чтобы его дискриминант был точным квадратом. Таким образом,
откуда 
то есть 
Последнее равенство равносильно двум случаям
и 
и 
Первый случай целых решений не даёт, а второй — 
Таким образом,
Заметим, что дискриминант трёхчлена 
равен 
а значит он действительно не имеет
корней, что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
