Тема Квадратные трёхчлены

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела квадратные трёхчлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90286Максимум баллов за задание: 7

Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида $x2 +px+ q,$ где $p,q$ — целые, $1 ≤p≤ 1997,1≤ q ≤ 1997.$ Каких трехчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем составить соответствие между многочленами двух видов. Если для каждого многочлена первого вида мы сможем найти свой многочлен второго вида, значит, многочленов второго вида будет не меньше.

Подсказка 2

Пусть у нас есть многочлен с корнями -m и -n, соответствующий условиям. Что тогда можно сказать про многочлен x^2 + nx+mn?

Подсказка 3

Дискриминант этого многочлена равен n(n-4m). Если вдруг m >= n, то такой многочлен не будет иметь корней. Осталось показать, что каждому многочлену с корнями сопоставлен свой многочлен без корней. Остается только найти многочлен без корней, который не представляется как x^2+nx+mn.

Показать ответ и решение

Пусть - $m ≤− n$ — целые корни трёхчлена $x2 +px+ q.$ Тогда $m+ n =p, mn = q,$ следовательно,

m,n> 0, 0 <mn ≤ 1997, n ≤m ≤ 1997

Рассмотрим трёхчлен $x2+ nx+ mn.$ Его коэффициенты — целые числа от $1$ до $1997,$ и оно не имеет корней, так как

2 D =n − 4mn = n(n − 4m)< 0

Итак, каждому трёхчлену с целыми корнями мы поставили в соответствие трёхчлен, не имеющий корней; при этом разным трёхчленам сопоставлены разные. Кроме того, трёхчлены вида $x2+px+ q,$ где $p$ чётно, $q$ нечётно и $D < 0,$ не представимы в виде $x2+ nx+ mn.$ Значит, трёхчленов, не имеющих корней, больше.

Ответ: Больше трёхчленов, не имеющих корней.