Тема Высшая проба

Функции на Высшей пробе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела высшая проба

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128832Максимум баллов за задание: 7

Существует ли функция $f,$ определенная на всей числовой прямой, такая, что для любого $x$ выполнено равенство

2 f(f(x))= x − x− 1

Источники: Высшая проба - 2025, 10.6 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, функция от функции... При подстановке каких-то иксов мы не получим ничего интересного, ведь нам не сильно помогает знание, например, f(f(0))=-1. Тогда какие ещё интересные точки можно попробовать поискать?

Подсказка 2

Давайте найдём неподвижные точки функции g(x)=f(f(x)), то есть решим уравнение g(x)=x.

Подсказка 3

Используя знание о неподвижных точках g(x), найдём неподвижные точки g(g(x)).

Подсказка 4

Попробуем найти g(g(f(1))). Распишем каждую g(x) как f(f(x)), а потом обратно соберём f(f(...)) в g(..), но в другом порядке. Что интересного можно сказать про единицу?

Подсказка 5

Предыдущее выражение можно преобразовать в f(g(g(1))), а единица — одна из неподвижных точек g(g(x)), значит, это просто f(1). Как это использовать?

Подсказка 6

Ага, получается g(g(f(1)))=f(1), значит, f(1) — неподвижная точка g(g(x)). Но мы ранее их находили, следовательно, мы теперь точно знаем, какие значения может принимать f(1).

Подсказка 7

Давайте посмотрим, чему может быть равно f(1), и в каждом случае поищем противоречие.

Подсказка 8

Скорее всего, оно будет связано с переходом в преобразованиях g(x)=f(f(x)), ведь мы знаем f(1) по рассматриваемому случаю и умеем напрямую считать g(x), потому что она задана в явном виде.

Показать ответ и решение

Предположим, что такая функция $f$ существует. Положим

2 g(x)= x − x − 1= f(f(x))

Заметим, что

2 g(x)=x ⇐ ⇒ x − 2x− 1= 0 ⇐ ⇒

⇐ ⇒ x∈ {1− √2,√2-+ 1}

Также заметим, что

g(g(x))= (x2 − x− 1)2− (x2− x− 1)− 1= x ⇐⇒

⇐⇒ x4 − 2x3− 2x2 − 2x− 1= 0

Два корня этого уравнения мы уже знаем, так как

g(x)= x

g(g(x))= g(x) =x

Отсюда

4 3 2 (2 )(2 ) x − 2x − 2x − 2x− 1= x − 2x− 1 x − 1 = 0

Значит,

g(g(x))= x

x∈ {− 1,1− √2,1,√2-+ 1}

Заметим, что

g(g(1))= 1

g(g(f(1)))= f(f(f(f(f(1)))))= f(g(g(1)))=f(1)

Отсюда

√- √ - f(1)∈ {−1,1− 2,1, 2+ 1}

Проверим все случаи:

1) $f(1)= 1$

1= f(1)=f(f(1))= g(1)= −1

2) $f(1)= −1$

1= g(− 1) =f(f(− 1))= f(f(f(1)))=

=f(g(1))=f(−1)= f(f(1))=g(1)=− 1

3) $√- √- f(1)∈ {1− 2, 2 +1}$

1= g(g(1))= f(f(f(f(1)))= f(g(f(1)))= f(f(1))= g(1)= −1

В любом случае приходим к противоречию, а значит, искомой функции не существует.

Ответ:

Не существует

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74778Максимум баллов за задание: 7

В этой задаче запись $x modn,$ где $x$ — целое а $n$ — натуральное, обозначает такое целое число $y$ от 0 до $n− 1,$ что $x− y$ делится на $n.$

Существует ли такая функция $f,$ определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом $x$ верно

(( 2 ) ) ( 2 ) f x +1 mod 7 = f(x) +1 mod 11 ?

Источники: Высшая проба - 2022, 11.1 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, перед нами функциональное уравнение, да еще и аргумент функции мы берем по модулю 7… Давайте вспомним, что мы обычно делаем в функциональных уравнениях?

Подсказка 2

Верно, подставляем хорошие значения! А какие значения хочется подставить в это уравнение(не забывайте, что в левой части аргумент берется по модулю)

Подсказка 3

Да, хочется найти такие x, для которых верно: x = x²+1 по модулю 7. Почему так хочется сделать? Если получится найти такой x, то дальше уравнение сведется к f(x) = (f(x)²+1) (по модулю 11). А понять, решается ли такое уравнение уже проще, чем решить исходное! Остаётся найти такие x.

Подсказка 4

Заметим, что 3 = 3²+1 по модулю 7! То есть, 3 нам подходит. Что можно сказать про f(3)?

Подсказка 5

Верно, f(3) = f(3)²+1 по модулю 11. Мы получили почти то же самое, что и на одном из предыдущих шагов, только теперь по модулю 11! Остаётся показать, что таких y не существует.

Показать ответ и решение

Стандартным ходом при решении задач на функциональные уравнения является подставить какое-то значение переменной, при котором два часто возникающих и не равных друг-другу тождественно выражения оказываются равны, и посмотреть, какие следствия из этого удастся вывести. Применительно к данной задаче на роль такой подстановки простится значение $x0,$ для которого выполнялось бы $2 x0 = x0+ 1mod 7.$

Задумаемся, а существует ли такое $x0?$ Условие равносильно квадратному уравнению в остатках(в этом абзаце все сравнимости по модулю 7):

x20− x0 +1 ≡0

1±√ −3- 1±√ −3+-7 {3 − 1} {3 +7 −1 +7} x0 ≡--2----≡ ----2----≡ 2,-2- ≡ --2-,--2-- ≡ {5,3}

Или можно было просто перебором остатков, благо их всего 7, убедиться, что любой из 3 и 5 подходят.

Что же нам дает равенство $3 =32+ 1mod 7?$ Просится от обоих частей взять функцию $f,$ а затем воспользоваться условием задачи. Имеем:

f(3)=f ((32+ 1)mod7)= (f(3)2+ 1) mod11

Чтобы подчеркнуть полученное, обозначим $f(3)= y$ и выбросим среднюю часть:

( 2 ) y = y + 1 mod11

Отсюда следует (далее все сравнимости будут по модулю 11)

y2− y+ 1≡ 0

Отметим что это именно следствие, а не равносильность. Выясним, имеет ли сравнимость решения, действуя стандартно $√ -- y ≡ 1±-2−3.$ А извлекается ли квадратный корень из -3 по модулю 11? Заметим что $12 ≡ (−1)2 ≡1,22 ≡(−2)2 ≡ 4,32 ≡ (− 3)2 ≡ 9,$ $42 ≡ (− 4)2 ≡ 5$ и $52 ≡ (−5)2 ≡3.$ Мы перебрали все остатки, среди квадратов не нашлось -3, значит корень не извлекается, значит уравнение $y2− y+ 1≡ 0$ не имеет решений.

Итак, требуемой функции $f$ не существует.

Ответ: нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания