Функции на Высшей пробе

Стандартным ходом при решении задач на функциональные уравнения является подставить какое-то значение переменной, при котором два часто возникающих и не равных друг-другу тождественно выражения оказываются равны, и посмотреть, какие следствия из этого удастся вывести. Применительно к данной задаче на роль такой подстановки простится значение для которого выполнялось бы

Задумаемся, а существует ли такое Условие равносильно квадратному уравнению в остатках(в этом абзаце все сравнимости по модулю 7):

Или можно было просто перебором остатков, благо их всего 7, убедиться, что любой из 3 и 5 подходят.

Что же нам дает равенство Просится от обоих частей взять функцию а затем воспользоваться условием задачи. Имеем:

Чтобы подчеркнуть полученное, обозначим и выбросим среднюю часть:

Отсюда следует (далее все сравнимости будут по модулю 11)

Отметим что это именно следствие, а не равносильность. Выясним, имеет ли сравнимость решения, действуя стандартно А извлекается ли квадратный корень из -3 по модулю 11? Заметим что и Мы перебрали все остатки, среди квадратов не нашлось -3, значит корень не извлекается, значит уравнение не имеет решений.

Итак, требуемой функции не существует.