Функции на Высшей пробе

Подсказка 1

Хм, функция от функции... При подстановке каких-то иксов мы не получим ничего интересного, ведь нам не сильно помогает знание, например, f(f(0))=-1. Тогда какие ещё интересные точки можно попробовать поискать?

Подсказка 2

Давайте найдём неподвижные точки функции g(x)=f(f(x)), то есть решим уравнение g(x)=x.

Подсказка 3

Используя знание о неподвижных точках g(x), найдём неподвижные точки g(g(x)).

Подсказка 4

Попробуем найти g(g(f(1))). Распишем каждую g(x) как f(f(x)), а потом обратно соберём f(f(...)) в g(..), но в другом порядке. Что интересного можно сказать про единицу?

Подсказка 5

Предыдущее выражение можно преобразовать в f(g(g(1))), а единица — одна из неподвижных точек g(g(x)), значит, это просто f(1). Как это использовать?

Подсказка 6

Ага, получается g(g(f(1)))=f(1), значит, f(1) — неподвижная точка g(g(x)). Но мы ранее их находили, следовательно, мы теперь точно знаем, какие значения может принимать f(1).

Подсказка 7

Давайте посмотрим, чему может быть равно f(1), и в каждом случае поищем противоречие.

Подсказка 8

Скорее всего, оно будет связано с переходом в преобразованиях g(x)=f(f(x)), ведь мы знаем f(1) по рассматриваемому случаю и умеем напрямую считать g(x), потому что она задана в явном виде.