.06 Кривизна траектории

1. Зафиксируем точку на ободе колеса и рассмотрим её положение в произвольный момент времени . Колесо движется без проскальзывания, из этого следует, что скорость нижней точки равняется нулю. Из этого, в свою очередь, делаем вывод:

Поймем теперь, как записать координату центра колеса:

Теперь запишем координату точки на ободе колеса. Из геометрии получаем:

Ровно по тем же соображениям:

Получаем ответ на первый вопрос задачи (параметрическое уравнение циклоиды):

2. Радиус кривизны траектории будем искать, используя соотношение . Циклоида является периодической кривой, поэтому логичным первым шагом в решении задачи будет нахождение и (нормального ускорения и скорости точки на ободе колеса) как функций угла .

Для дальнейшего анализа разложим скорость точки на поступательную и вращательную компоненты, вспомним также, что они равны по модулю.

Изобразим также годограф скорости точки . Направление поступательной компоненты фиксировано, а компонета вращается и образует окружность:

Получаем, что . Из треугольника:

Осталось выразить , для этого перейдем в систему отсчета центра колеса. Тангенциальная компонента скорости точки в этой системе равна нулю,у точки есть только нормальное ускорение.

Получаем:

Пояснение: нормальное ускорение при переходе в систему отсчета центра колеса не изменяется в связи с тем, что поступательная компонента (скорость центра колеса) — константа. Иными словами

Далее спроецируем вектор на направление вектора

Из геометрии:

Тогда окончательно получаем для радиуса кривизны: