06 Кривизна траектории - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75091Максимум баллов за задание: 10

Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось её симметрии вертикальна. На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой $m$ , удерживая её у одного из краёв проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусинка будет давить на проволоку, находясь в самой нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры $L$ и $H$ , указанные на рисунке, известны.
(МОШ, 2015, 10)

Источники: МОШ, 2015, 10

Показать ответ и решение

Первый способ:
Расставим силы действующие на бусинку в нижней точке (сила нормальной реакции опоры, сила тяжести). Также на бусинку будет действовать центростремительное ускорение, направленное в центр окружности, радиус которой равен радиусу кривизны параболы в этой точке.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $y$ для бусинки:

ma ц = N − mg

С учётом центростремительного ускорения:

v2 m -r = N − mg

По третьему закону Ньютона сила давления бусинки на стержень будет равна силе нормальной реакции опоры:

( ) P = N = m v2 + g r

Скорость бусинки $v$ в этой точке можно найти из закона сохранения энергии:

mgH = mv2-⇒ v2 = 2gH 2

Следовательно,

(2gH- ) P = m r + g

Для кривой на плоскости можно ввести понятие кривизны. Это величина обратно пропорциональна радиусу кривизны и равна:

k(x) =-1--= ---|y′′(x)|---- r(x) (1 + [y′(x )]2)3∕2

В данной задаче, отрезок проволоки является параболой. Поместим параболу в начале координат (см. рис.). Тогда парабола будет описываться уравнением: $y(x) = b ⋅x2$ . Используя $L$ и $H$ найдём коэффициент $b$ :

y(x-) --H--- 4H- b = x2 = (L∕2)2 = L2

Далее используя уравнение кривизны получим выражение:

--1- ------2⋅ 4HL2----- k(x) = r(x) = ( ( 4H )2)3∕2 1+ 2 ⋅L2x

Когда бусинка будет находится в нижней точке, то координата $x$ будет равна нулю:

4H- k(x = 0) =---1--- = 2-⋅L2 = 8H2 r(x = 0) 1 L

Тогда радиус кривизны будет равен:

-L2 r = 8H

Подставляя $r$ в выражение для силы давления, в итоге получим:

( 2gH ⋅8H ) ( 16H2 ) P = m ---L2--- +g = mg -L2--+ 1

Второй способ:
Данный способ позволяет решить задачу без знания уравнения кривизны. Из первого способа мы знаем уравнение нашей параболы:

4H y(x) = b ⋅x2 =-2 ⋅x2 L

Исходя из того, что:

vy = y′(x) и ay = y′′(x)

Получим следующее (в общем виде):

vy = 2bx⋅vx

a = 2bx⋅a + 2bv2 y x x

Так как бусинка находится в нижней точке, то составляющая ускорения по оси $x$ отсутствует ( $ax = 0$ ). Также отсутствует составляющая скорости по оси $y$ ( $vy = 0$ ) и тогда $vx = v$ , где $v$ - скорость, определяемая ЗСЭ (см. в первом способе).
Тогда уравнение для ускорения будет иметь вид (при $x = 0$ ):

2 ay = aц = 2bv2 = 2 ⋅ 4H-⋅2gH = 16H- L2 L2

И в итоге сила давления на проволоку будет иметь вид:

( ) 16H2- P = N = m (aц +g) = mg L2 + 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75092Максимум баллов за задание: 10

Камень, брошенный под углом $α$ к горизонту с начальной скоростью $v0$ , летит по некоторой траектории. Если по этой же траектории полетит комар с постоянной скоростью $v0$ , то каким будет его ускорение на высоте, равной половине высоты наибольшего подъёма камня? Сопротивление воздуха при движении камня можно не учитывать.
(Всеросс., 1993, финал, 10)

Источники: Всеросс., 1993, финал, 10

Показать ответ и решение

Максимальная высота подъема камня определяется вертикальной составляющей начальной скорости:

v20sin2α- H = 2g

На высоте $H- 2$ скорость камня найдем из закона сохранения энергии:

2 2 mv-- = mv0-− mg H- 2 2 2

Отсюда

( 2 ) v2 = v2 1− sin-α 0 2

Угол наклона $φ$ скорости камня к горизонту находим из условия

cosφ = vгор-= v0cosα, v v

где $vгор$ - горизонтальная составляющая скорости камня. Следовательно,

---cosα--- cosφ = ∘ ----sin2α 1 − 2

Рассмотрим теперь составляющую ускорения камня, нормальную к орбите движения (см. рис.),

v2 -- = gcosφ R

Здесь $R$ - радиус кривизны на высоте $H- 2$ . Он равен

2 R = --v--- g cosφ

Отсюда ускорение комара в этой точке траектории

v02 v20gcosφ- ----cos-α----- a = R = v2 = g ( sin2α)3∕2 1− 2

Таким образом, ответ не зависит от $v0$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#115564Максимум баллов за задание: 10

Колесо радиуса $R$ катится без проскальзывания с постоянной скоростью $v0$ по горизонтальной поверхности. Траектория, которую описывает фиксированная точка обода колеса в неподвижной системе отсчёта, называется циклоидой.
Ось $x$ направляем горизонтально, ось $y$ — вертикально вверх. Пусть точка $M$ обода колеса имела координаты $(0,0)$ при $t = 0.$
1) Напишите параметрические уравнения циклоиды, то есть найдите координаты $x (t)$ и $y(t)$ точки $M$ в произвольный момент времени.
2) Найдите радиус кривизны циклоиды в её верхней точке.

Источники: Олимпиада Максвелла, 2022, ЗЭ, 8

Показать ответ и решение

$PIC$

1. Зафиксируем точку $M$ на ободе колеса и рассмотрим её положение в произвольный момент времени $t$ . Колесо движется без проскальзывания, из этого следует, что скорость нижней точки равняется нулю. Из этого, в свою очередь, делаем вывод:

vвращательная = vпоступательная ⇒ ω⋅R = v0

Поймем теперь, как записать координату центра колеса:

( {y0 = R ( x0 = v0t

Теперь запишем координату точки $M$ на ободе колеса. Из геометрии получаем:

xM = x0 − R sin ϕ = x0 − Rsinωt

Ровно по тем же соображениям:

yM = y0 − R cosωt

Получаем ответ на первый вопрос задачи (параметрическое уравнение циклоиды):

({ v0 x(t) = v0 ⋅t− R sin (R t) (y(t) = R − R cos(v0t) R

$PIC$

2. Радиус кривизны траектории $r$ будем искать, используя соотношение $a = v2 n r$ . Циклоида является периодической кривой, поэтому логичным первым шагом в решении задачи будет нахождение $an$ и $v$ (нормального ускорения и скорости точки на ободе колеса) как функций угла $ϕ$ .

Для дальнейшего анализа разложим скорость точки $M$ на поступательную и вращательную компоненты, вспомним также, что они равны по модулю.

Изобразим также годограф скорости точки $M$ . Направление поступательной компоненты $v0$ фиксировано, а компонета $V$ вращается и образует окружность:

Получаем, что $vM ∈ [0;2v0]$ . Из треугольника:

v(ϕ) = 2⋅v sin ϕ- 0 2

Осталось выразить $an = an(φ)$ , для этого перейдем в систему отсчета центра колеса. Тангенциальная компонента скорости точки $M$ в этой системе равна нулю,у точки есть только нормальное ускорение.

Получаем:

2 a = vвр n R

Пояснение: нормальное ускорение при переходе в систему отсчета центра колеса не изменяется в связи с тем, что поступательная компонента (скорость центра колеса) — константа. Иными словами

⃗aабс = ⃗aотн + ⃗aпер, ⃗aпер = 0 ⇒ ⃗aабс = ⃗aотн

$PIC$

Далее спроецируем вектор $⃗aабс$ на направление вектора $⃗an$

Из геометрии:

v2вр φ- an(φ) = R ⋅sin 2

Тогда окончательно получаем для радиуса кривизны:

2 φ 4Rv20sin--2- φ- r(φ) = 2 φ- = 4R sin 2 v0sin 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#115565Максимум баллов за задание: 10

Колесо катится без проскальзывания по прямолинейной направляющей. Доказать, что радиус кривизны траектории любой точки $M,$ лежащей на ободе колеса, равен удвоенному расстоянию от этой точки до мгновенного центра скоростей.
Подсказка: для упрощения расчетов положить скорость центра колеса постоянной.

Источники: Олимпиада Максвелла, 2017, ЗЭ, 7

Показать ответ и решение

Нормальное ускорение точки, движущейся на ободе колеса можно выразить через скорость этой точки:

v2M- an = ρ (1)

где $ρ$ - радиус кривизны траектории.

Теперь выразим нормальное ускорение через полное ускорение точки, направленное в центр колеса:

an = a cosφ

А полное ускорение в свою очередь можно выразить из вращательного движения точки вокруг центра окружности:

2 a = v- R

где $R$ - радиус колеса. Теперь выразим скорость вращения точки относительно центра колеса в СО центра колеса, чтобы получить выражение для $vM$ .
Из теоремы Пифагора:

v2 = (vM cos φ− v)2 + (vM sinφ )2

2 2 2 2 2 2 v = vM cos φ − 2vvM cosφ + v + vM sin φ

v2 = 2vv cosφ M M

vM = 2v cosφ

Подставим в формулу (1) выражения для ускорения и скорости точки М:

2 2 v-cosφ = (2vcosφ)- R ρ

Сократим некоторые величины:

1- 4-cosφ R = ρ

ρ = 4 cosφR

Заметим, что проецируя радиус окружности на отрезок, соединяющий точку и МЦС, получим:

RМЦ С = 2R cosφ

Отсюда:

ρ = 2RМЦ С

ч.т.д.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#139950Максимум баллов за задание: 10

Дальность полёта камня, брошенного под углом $α = 60∘$ к горизонту, равна $S = 17 м.$

1. Найдите начальную скорость $V0$ камня. Через некоторое время по траектории камня летит модель самолёта массой $m = 1 кг$ с постоянной по величине скоростью $V = V ∕4. 0$
2. В высшей точке траектории найдите вертикальную составляющую силы $F,$ с которой воздух действует на модель самолёта.
Ускорение свободного падения $g = 10 м/с2.$ Силу сопротивления воздуха в процессе полёта камня считайте пренебрежимо малой. Точки старта и окончания полёта лежат в одной горизонтальной плоскости.