.06 Кривизна траектории

Первый способ:
Расставим силы действующие на бусинку в нижней точке (сила нормальной реакции опоры, сила тяжести). Также на бусинку будет действовать центростремительное ускорение, направленное в центр окружности, радиус которой равен радиусу кривизны параболы в этой точке.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось для бусинки:

С учётом центростремительного ускорения:

По третьему закону Ньютона сила давления бусинки на стержень будет равна силе нормальной реакции опоры:

Скорость бусинки в этой точке можно найти из закона сохранения энергии:

Следовательно,

Для кривой на плоскости можно ввести понятие кривизны. Это величина обратно пропорциональна радиусу кривизны и равна:

В данной задаче, отрезок проволоки является параболой. Поместим параболу в начале координат (см. рис.). Тогда парабола будет описываться уравнением: . Используя и найдём коэффициент :

Далее используя уравнение кривизны получим выражение:

Когда бусинка будет находится в нижней точке, то координата будет равна нулю:

Тогда радиус кривизны будет равен:

Подставляя в выражение для силы давления, в итоге получим:

Второй способ:
Данный способ позволяет решить задачу без знания уравнения кривизны. Из первого способа мы знаем уравнение нашей параболы:

Исходя из того, что:

Получим следующее (в общем виде):

Так как бусинка находится в нижней точке, то составляющая ускорения по оси отсутствует (). Также отсутствует составляющая скорости по оси () и тогда , где - скорость, определяемая ЗСЭ (см. в первом способе).
Тогда уравнение для ускорения будет иметь вид (при ):

И в итоге сила давления на проволоку будет иметь вид: