Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Докажем сначала лемму, которая поможет решить задачу.

Лемма. Многочлен с целыми коэффициентами неприводим над тогда и только тогда, когда он неприводим над

Доказательство. Пусть — многочлен с целыми коэффициентами и где — многочлены с рациональными коэффициентами. Обозначим наибольший общий делитель коэффициентов многочлена Тогда можно считать, что Выберем для многочлена натуральное число так, что многочлен имеет целые коэффициенты. Пусть Тогда рациональное число таково, что многочлен имеет целые коэффициенты и Аналогично выберем положительное рациональное число для многочлена Покажем, что в таком случае т. е. разложение является разложением над кольцом целых чисел. Действительно, согласно лемме Гаусса т. е. Учитывая, что получаем

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь понятно, что достаточно показать неприводимость многочлена над . Пусть многочлен из условия раскладывается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами. Так как свободный коэффициент многочлена равен произведению свободных членов и , то один из свободных коэффициентов многочленов и большое простое число, а другой — 1. Пусть свободный член равен 1. Из основной теоремы алгебры и теорема Виета получаем, что у многочлена произведение корней равно 1. Следовательно, у есть корень, который по модулю не превосходит 1. Значит и у многочлена тоже есть такой корень, что невозможно, так как при подстановке в числа, по модулю не превосходящего 1, свободный член “перевесит” суммы всех остальных членов.