Линейное движение

Пусть — окружность, описанная около четырехугольника — центра точки — точки пересечения и прямой Пусть точка движется линейно по прямой тогда точки как проекции точки на прямые, проходящие через две вершины четырехугольника , так же движутся линейно. Наконец, середины отрезков и как середины отрезков, концы которых движутся линейно, движутся линейно. Покажем, что существует три положения точки при которых утверждение задачи верно.

Положение 1. Пусть точка совпадает с точкой Тогда точки является серединами соответствующих сторон, но тогда середина каждого из отрезков является центром масс четырехугольника, следовательно, середины отрезков и совпадают, то есть лежат на одной прямой.

Положение 2. Пусть точка совпадает с точкой

Заметим, что точки коллинеарны, поскольку образуют прямую Симсона точки и треугольника Аналогично, коллинеарны тройки точек Осталось заметить, что точки образуют полный четырехсторонник, а утверждение задачи следует из теоремы Ньютона.

Положение 3. Пусть точка совпадает с точкой Доказательство аналогично предыдущему пункту.

Замечание. Точка является точкой Микеля полного четырехсторонника, образованного вершинами