Тема Преобразования плоскости

Линейное движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразования плоскости

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98193

Три прямые двигаются линейно. Сколько требуется моментов времени, в которые они должны пересечься в одной точке, чтобы утверждать, что они всегда пересекаются в одной точке?

Показать ответ и решение

Покажем, что двух моментов времени будет достаточно. Обозначим прямые за $ℓ,ℓ ,ℓ . 1 2 3$ По предположению, существуют две точки $A$ и $B,$ что в первый момент времени каждая прямая проходит через $A,$ а во второй — через $B.$

Таким образом, при любых $i⁄= j ∈ {1,2,3}$ точка пересечения прямых $ℓi$ и $ℓj$ движется линейно и совпадает с точкой $A$ в первый и с точкой $B$ — во второй момент времени, следовательно, она движется линейно по прямой $AB,$ ее положение в каждый момент времени определено однозначно, а значит, совпадает для всех указанных $i,j.$

Ответ:

Два момента времени

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98194

По сторонам $BA$ и $CA$ угла $BAC$ линейно движутся точки $B t$ и $C t$ соответственно. Докажите, что всевозможные окружности $(ABtCt)$ проходят через фиксированную точку, отличную от точки $A.$

Показать доказательство

Пусть $O t$ — центр окружности $(AB C). t t$ Покажем, что $O t$ движется линейно. Действительно, в силу линейности движения $B , t$ верно, что середина отрезка $ABt$ так же движется линейно, то есть и серединный перпендикуляр, как прямая постоянного направления, проходящая через точку, которая движется линейно, движется линейно. Тем самым, $Ot,$ как точка пересечения серединных перпендикуляров, что движутся линейно, движется линейно.

$PIC$

Пусть $ℓ$ — прямая на которой лежат все возможные точки $Ot,$ $A′$ — отражение $A$ относительно $ℓ.$ Тогда $A′Ot =OtA$ и, следовательно, $A′$ принадлежит $(ABtCt).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98195

В четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $M,$ $∠AMD = 120∘,$ $AM = MD.$ На стороне $BC$ выбрана произвольная точка $E.$ Через нее проведены прямые, параллельные диагоналям, которые пересекают четырехугольник второй раз в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что центр описанной окружности треугольника $PEQ$ лежит на прямой $AD.$

Показать доказательство

Будем двигать точку $E$ линейно по прямой $BC.$ Прямая $EP$ , как прямая постоянного направления, проходящая через точку $E,$ так же движется линейно. Середина $EP$ — точка пересечения прямой $EP$ с прямой, содержащий медиану треугольника $ABC$ из вершины $B,$ следовательно, движется линейно, а значит, и серединный перпендикуляр к отрезку $EP$ движется линейно.

$PIC$

Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку $\text{[math]}$ движется линейно, а значит, и точка с серединным перпендикуляром к отрезку $EP$ — центр $O$ окружности $P EQ$ — движется линейно. Тем самым, нам достаточно проверить, что в двух моментах времени точка $O$ лежит на $AD.$

Покажем, что в положении $E = B$ указанное условие выполняется. Таким образом, достаточно показать, что центр окружности, проходящей через точки $D$ и $B$ и касающейся прямой, проходящей через $B,$ параллельно $AC,$ лежит на $AD.$

$PIC$

Действительно, в силу указанного касания $--- ∠BOD =BD = 120∘,$ следовательно, $∠BDO = 30∘,$ кроме этого, из равнобедренности треугольника $AMD$ следует, что $∠BDA =30∘,$ последнее влечет принадлежность точек $A,O,D$ одной прямой. Утверждение в положении $E =C$ доказывается аналогично, что завершает доказательство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75635

Точки, разбивающие каждую из сторон четырехугольника на три равные части, соединили так, что четырехугольник разбился на $9$ меньших четырехугольников. Докажите, что каждый из полученных отрезков делится точками пересечения на три равные части.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть точки $M$ и $N$ будут двигаться линейно из точки $A$ в точку $D$ и из точки $B$ в точку $C$ соответственно с равными скоростями Пусть $P$ точка такая, что $APPB-= 12,$ тогда точка $P$ так же движется линейно.

Пусть $M$ на отрезке $AD$ такая, что $AMMD-= 12,N$ на отрезке $BC$ такая, что $BNNC-= 12,O$ на отрезке $MN,$ что $MOON-= 12,Q$ на отрезке $DC,$ что $DQQC-= 12.$ Тогда $O$ и $Q$ являются положениями точки $P,$ следовательно лежат на одной прямой с $P.$

Аналогично с остальными парами прямых.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75639

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $BN.$ На стороне $AB$ выбрана точка $P,$ а на сторонах $AC$ и $BC$ выбраны точки $L$ и $K$ такие, что $PL$ параллельно $BN,$ а $PK$ параллельно $AM.$ Докажите, что отрезок $LK$ делится медианами на три равные части.

Показать доказательство

$PIC$

Первое решение. Пусть $P$ движется линейно по прямой $AB,$ тогда точка $L$ является точкой пересечения прямой $LP,$ которая имеет постоянное направление и проходит через $P,$ и прямой $AC,$ которая не движется, движется линейно. Аналогично, $K$ движется линейно.

Пусть $P$ — точка на отрезке $LK$ такая, что $LP-= 1. PK 2$ Заметим, что $P$ так же движется линейно. Осталось доказать, что в двух положениях $P$ лежит на $AM.$

Рассмотрим положение $P = A.$ Тогда $L =A,K = M,$ тогда прямые $LK$ и $AM$ совпадают, откуда очевидно требуемое.

Рассмотрим положение $P = B.$ Тогда $K = B$ и $N = L,$ следовательно $P$ точка на медиане $NB$ такая, что $NP- = 1, P B 2$ то есть является центром тяжести исходного треугольника, а значит лежит на медиане $AM,$ что завершает доказательство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть $Q$ — пересечение $KL$ и $BN.$ По теореме Менелая для $△CKL$ и точек $B,Q,N,$ лежащих на прямых, содержащих его стороны и принадлежащих одной прямой

KQ- LN- CB- QL ⋅NC ⋅BK = 1

следовательно $KQ- NC- BK- QL = LN ⋅CB.$ Обозначим $A1$ и $B1$ точки пересечения прямых из $C,$ параллельных $BN$ и $AM$ с $BA.$ Понятно, что $AM$ и $BN$ являются средними линиями треугольников $CB1B$ и $AA1C$ соответственно, а значит, $BA1 =AB1 = BA.$ По теореме Фалеса для троек параллельных прямых $LP,NB, CA1$ и $KP,MA, CB1$

NC BA LN- =-PB1

BK- = BP-- CB B1B

Итак,

KQ-= BA1-⋅-BP-= BA1-= 1 QL PB B1B B1B 2

из чего следует требуемое.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75640

На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ с центром $I$ отмечена точка $X.$ Из точки $X$ опустили перпендикуляры $XP$ и $XQ$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что прямая $XI$ делит отрезок $PQ$ пополам.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть точка $X$ движется линейно по прямой $BC.$ Тогда прямая $XP,$ как прямая постоянного направления, которая проходит через $X,$ так же двигается линейно, следовательно точка $P,$ как точка пересечения прямых $AB$ и $XP,$ которые двигаются линейно, так же движется линейно. Аналогично точка $Q$ движется линейно. Наконец, середина $M$ отрезка $P Q$ движется линейно.

Теперь для доказательства достаточно показать, что точки $I,M,X,$ каждая из которых движется линейно при движении $X$ лежат на одной прямой в три момента времени. В качестве искомых положений можно взять $X = B,X = C,$ а так же $X$ — середина $BC.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#75641

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $B 1$ и $C 1$ соответственно. Докажите, что прямая, соединяющая ортоцентры треугольников $ABC$ и $AB1C1$ перпендикулярна прямой, соединяющей середины отрезков $BC1$ и $B1C.$ Выведите отсюда существование прямой Обера (ортоцентры четырёх треугольников, образованных четырьмя прямыми общего положения, лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой Гаусса этих четырёх прямых).

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BC ′$ и $CB′$ соответственно, $H$ и $H′$ — ортоцентры треугольников $ABC$ и $AB′C′$ соответственно.

Пусть точка $B ′$ движется линейно по прямой $AB.$ Точка $H′$ определяется как точка пересечения прямых, перпендикулярных $AB$ и $AC,$ проведенных через точки $C′$ и $B′$ соответственно. Первая из них неподвижна при движении $B ′,$ вторая же имеет постоянное направление и проходит через точку $B′,$ которая движется линейно, а значит и сама движется линейно, таким образом точка $H ′$ движется линейно.

Вектор $MN$ проходит через середины противоположных сторон четырехугольника $BC ′CB ′,$ тем самым верно, что

---- ---- MN-= CC-′+-B′B- 2

Вектор $CC-′$ не изменяется, а вектор $BB-′$ имеет постоянное направление, а его длина меняется линейно. Таким образом прямая $MN$ движется линейно.

Наконец, достаточно проверить, что в три момента времени угол между прямыми $MN$ и $′ HH ,$ которые движутся линейно равен $∘ 90 .$

Положение 1. Рассмотрим точку $′ B$ такую, что $′ ′ C B||CB.$ В этом случае $MN ||BC$ , а прямая $′ HH$ совпадает с прямой с высотой из $A,$ откуда имеет место перпендикулярность.

Положение 2. Пусть $′ B = B.$ Тогда прямая $MN$ является средней линией треугольника $ABC,$ параллельной $AC,$ а прямая $′ HH$ совпадает с высотой из точки B на прямую $AC.$

Положение 3. Пусть точка $′ B$ такая, что $′ ′ CB ||BC .B$ этом случая прямая $MN$ является медианой треугольника $′ BAC$ и, как известно, проходит через точку $S$ пересечения диагоналей трапеции $′ ′ BB CC .$ Далее покажем, что $′ HH$ перпендикулярно прямой $AS.$

Пусть $A1 = AH ∩BC,A2 =AH ′∩B ′C ′.$ Заметим, что $AS$ является диаметром окружности, описанной около $A2AA1,$ следовательно, достаточно показать, что прямые $A1A2$ и $HH ′$ антипараллельны в угле $A2AA1,$ то есть принадлежность точек $A1,A2,H, H′$ одной окружности.

Пусть $B1 = BH ∩AC,B2 = B′H ′∩AC ′.$ Заметим, что точки $H,A1,C,B1$ лежат на одной окружности, следовательно, $AH ⋅AA1 =AB1 ⋅AC.$ Аналогично $AH′⋅AA2 =AB2 ⋅AC′.$

$PIC$

Наконец, достаточно показать, что $AB ⋅AC = AB ⋅AC′, 1 2$ что эквивалентно $AC ∕AC ′ =AB ∕AB , 2 1$ последнее верно, поскольку каждое из отношений равно $AB′∕AB.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75642

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $X.$ Пусть $X ,X ,X ,X ,X ,X AB BC CD DA AC BD$ — проекции точки $X$ на прямые $AB, BC,CD,DA,AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $XABXCD, XBCXDA$ и $XACXBD$ лежат на одной прямой.

Показать доказательство

Пусть $Ω$ — окружность, описанная около четырехугольника $ABCD, O$ — центра $Ω,$ точки $M,N$ — точки пересечения $Ω$ и прямой $OX.$ Пусть точка $X$ движется линейно по прямой $OX,$ тогда точки $XAB, XBC,XCD,XDA, XAC,XBD$ как проекции точки $X$ на прямые, проходящие через две вершины четырехугольника $ABCD$ , так же движутся линейно. Наконец, середины отрезков $XABXCD, XBCXDA$ и $XACXBD,$ как середины отрезков, концы которых движутся линейно, движутся линейно. Покажем, что существует три положения точки $X,$ при которых утверждение задачи верно.

Положение 1. Пусть точка $X$ совпадает с точкой $O.$ Тогда точки $XAB,XBC, XCD,XDA, XAC$ является серединами соответствующих сторон, но тогда середина каждого из отрезков является центром масс четырехугольника, следовательно, середины отрезков $XABXCD, XBCXDA$ и $XACXBD$ совпадают, то есть лежат на одной прямой.

Положение 2. Пусть точка $X$ совпадает с точкой $M.$

Заметим, что точки $XAB,XAC,XBC$ коллинеарны, поскольку образуют прямую Симсона точки $M$ и треугольника $ABC.$ Аналогично, коллинеарны тройки точек $(XAB,XAD,XBD ),(XAC,XAD, XDC),(XDC, XBD,XBC ).$ Осталось заметить, что точки $XAB, XBC,XCD,XDA, XAC$ образуют полный четырехсторонник, а утверждение задачи следует из теоремы Ньютона.

$PIC$

Положение 3. Пусть точка $X$ совпадает с точкой $N.$ Доказательство аналогично предыдущему пункту.

Замечание. Точка $M$ является точкой Микеля полного четырехсторонника, образованного вершинами $XAB,XBC,XCD, XDA,XAC,XBD.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#75644

На описанной окружности треугольника $ABC$ отмечена точка $X.$ Прямые $BX$ и $CX$ пересекают высоты $CC ,BB 1 1$ в точках $P,Q$ соответственно. Докажите, что середина отрезка $P Q$ лежит на прямой $B1C1.$

Показать доказательство

$PIC$

Пусть точка $P$ движется линейно по прямой $CC1.$ Покажем, что точка $Q$ при этом движении линейно движется по прямой $BB1.$ Действительно, точки $A,B,C,X$ лежат на одной окружности, следовательно $∠XBA =∠XCA,$ кроме этого

∠P C1B =90∘ = ∠QB1C

что влечет подобие треугольников $PC1B$ и $QB1C,$ откуда заключаем равенство

B1Q = PC1BC1- CB1

следовательно, расстояние от $B1$ до $Q$ линейно зависит от длины отрезка $C1B.$

Таким образом, точки $P$ и $Q$ движутся линейно, следовательно середина, соединяющего их отрезка так же движется линейно.

Осталось показать существование двух положений, при которых она лежит на прямой $B1C1.$ Такими, например, являются положения $P =A$ и $P = BB1 ∩(ABC ).$ Выполнение условия задачи очевидно в первом случае, а во втором эквивалентно утверждению о том, что точка, симметричная ортоцентру относительно одной из сторон треугольника, лежит на его описанной окружности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#81657

Внутри треугольника $ABC$ расположен треугольник $P QR.$ Известно, что сумма расстояний от вершины треугольника $PQR$ до сторон треугольника $ABC$ не зависит от выбора вершины треугольника $PQR.$ Докажите, что треугольник $ABC$ — правильный.

Показать доказательство

Пусть сумма расстояний от вершины треугольника $PQR$ до сторон треугольника $ABC$ равна $S.$ Рассмотрим линейную функцию $f(X)= dist(X,AB )+ dist(X,BC )+dist(X,AC)− S,$ где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек треугольника $ABC.$ Тогда $f$ это линейная функция, которая обнуляется в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Следовательно, функция $f$ тождественно равна нулю. Откуда посредством подстановки точек $A,B$ и $C$ в $f$ получаем, что все высоты треугольника $ABC$ равны между собой. Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#81661

Дан треугольник $ABC.$ Пусть $A 1$ и $B 1$ — основания биссектрис из вершин $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что для любой точки $X$ на отрезке $A1B1$ выполнено равенство $a+ b= c,$ где $a,b$ и $c$ — расстояния от $X$ до $BC,CA$ и $AB$ соответственно.

Показать доказательство

Рассмотрим линейную функцию $f(X)= dist(X,CA )+dist(X,CB)− dist(X,AB ),$ где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек треугольника $ABC.$ Заметим, что $f(A1)= f(B1)= 0,$ а также $f(A)⁄= 0.$ Следовательно, нули функции $f$ лежат на прямой $A1B1,$ откуда и следует решение задачи.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#81665

В треугольнике $ABC$ длины высот из точек $A$ и $C$ равны $2a$ и $2c$ соответственно. С центрами в $A$ и $C$ построены окружности радиусов $a$ и $c$ соответственно. Пусть $ℓ$ — общая внешняя касательная к этим окружностям, не пересекающая треугольник $ABC.$ Докажите, что центр вписанной окружности треугольника, образованного прямыми $AB, BC$ и $l,$ лежит на $AC.$

Показать доказательство

Обозначим центр вписанной окружности из условия за $I.$ Рассмотрим линейную функцию

f(X)= dist(X,BA )+ dist(X,BC )− 2dist(X,ℓ)

где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек треугольника $ABC.$ Заметим, что $f(A)= f(C )=f(I)= 0,$ а также $f(B)⁄= 0.$ Следовательно, нули функции $f$ лежат на прямой $AB,$ откуда и следует решение задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#81669

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD.$ Докажите, что для любой точки $O$ внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров $OSAB$ и $OSCD$ равна сумме объёмов тетраэдров $OSAD$ и $OSBC.$

Показать доказательство

Направленное расстояние от точки $(x,y ,z ) 0 0 0$ до плоскости $Ax +By + Cz+ D= 0$ равно $Ax0√+By0+Cz0+D-, A2+B2+C2$ то есть оно является линейной функцией. Следовательно, направленный объем пирамиды $XABC$ при фиксированных $A,B$ и $C$ тоже является линейной функцией. Нулями линейной функцией в пространстве является или всё пространство, или плоскость, или пустое множество. Рассмотрим линейную функцию $f(X )=SXSAB + SXSCD − SXSAD − SXSBC,$ где все площади направленные и положительные для всех внутренних точек пирамиды $SABCD.$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то обе его диагонали делят площадь пополам. Следовательно, $f(A)= f(B )=f(C)= f(D)= f(S) =0.$ Следовательно, функция $f$ тождественно равна нулю, откуда и следует решение задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#81673

Пусть у четырехугольника $ABCD$ противоположные стороны пересекаются в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что середины отрезков $AC,BD$ и $PQ$ лежат на одной прямой (прямая Гаусса). А если $ABCD$ описан, то там же лежит и центр вписанной в него окружности (теорема Ньютона).

Показать доказательство

Пусть точки $M,N$ и $K$ — это середины отрезков $AC,BD$ и $P Q.$ Рассмотрим линейную функцию $f(X )=S + S − S − S , XAD XBC XAB XCD$ где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек. Заметим, что $f(A)= −f(C)$ и $f(B )=− f(D )$ и $f(P)= −f(Q).$ Следовательно, $f(A)+f(C)- f(M )= 2 = 0$ ( $M$ — середина $BD$ ), $f(B)+f(D) f(N)= 2 = 0$ ( $N$ — середина $AC$ ) и $f(P)+f(Q)- f(K )= 2 = 0$ ( $K$ — середина $P Q$ ). Также на плоскости существует такая точка $X,$ что $SXAD > 0,SXBC > 0,SXAB < 0,SXCD <0,$ откуда следует, что $f(X)> 0.$ Следовательно, нули функции $f$ лежат на одной прямой, откуда и следует утверждение задачи. Если же $ABCD$ описан (пусть центр окружности это $I$ ), то $f(I)= r⋅(AD + BC − AB − CD)= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#81677

На плоскости даны точки $A$ и $B$ и прямая $ℓ,$ проходящая через точку $A.$ По $ℓ$ линейно движется точка $C.$ Докажите, что у $△ABC$ линейно движется

(a) точка пересечения медиан;

(b) центр описанной окружности;

(d) Останутся ли верными утверждения предыдущих пунктов, если $ℓ$ не обязательно проходит через $A?$

Показать доказательство

Если точка $C$ движется линейно по $ℓ,$ а точки $A$ и $B$ стоят на месте, то:

(a) точка $M$ — середина отрезка $AC$ движется линейно. Следовательно, точка, делящая отрезок $BM$ в отношении $2$ к $1$ тоже движется линейно.

(b) середины отрезков $AC$ и $AB$ движутся линейно. Тогда перпендикуляры, восставленные из них к прямым $ℓ$ и $AB$ движутся линейно, так как прямые $ℓ$ и $AB$ фиксированы. Таким образом, их точка пересечения тоже движется линейно.

(c) высота, опущенная из точки $B$ на сторону $AC$ не меняется, а высота, опущенная из точки $C$ на сторону $AB$ движется линейно, так как сторона $AB$ фиксирована. Следовательно, точка пересечения высот из $C$ и $B$ движется линейно.

(d) Для точки пересечения медиан утверждение останется верным (доказывается аналогично пункту (a)). А для пунктов (b) и (c) есть контрпримеры (например, можно взять прямую $ℓ,$ параллельную $AB$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#81678

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB,AC$ в точках $C ,B 1 1$ соответственно. На отрезках $BC1,AB1$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, что $PC1 =QB1.$ Докажите, что середина отрезка $PQ$ лежит на прямой $B1C1.$

Показать доказательство

Пусть точки $P$ и $Q$ будут двигаться линейно из точки $B 1$ в точку $A$ и из точки $C 1$ в точку $B$ с равными скоростями. Тогда точка $M$ — середина отрезка $P Q$ также будет двигаться линейно. Нам нужно показать, что точка $M$ движется по прямой $B1C1.$ Для этого достаточно найти два момента времени, когда точка $M$ лежит на прямой $B1C1.$ Например, подойдут положения $P = C1,Q = B1$ и $P = B$ или $Q =A$ в зависимости от того какой из отрезков $AB1$ и $BC1$ короче.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#81681

Вневписанные окружности касаются сторон $AB,AC$ треугольника $ABC$ в точках $C ,B 1 1$ соответственно. Докажите, что прямая, соединяющая середины $BC$ и $B1C1,$ параллельна биссектрисе угла $A.$

Показать доказательство

Так как касательные из вершины треугольника к вневписанной окружности, касающейся противоположной стороны, равны полупериметру, то $BC1 = CB1 =p− BC.$ Пусть точки $P$ и $Q$ двигаются линейно из $B$ в $A$ и из $C$ в $A$ с одинаковой скоростью. Тогда $M$ — середина отрезка $PQ$ также двигается линейно. Когда $P = B,Q =C,$ то $M$ — это середина отрезка $BC.$ Пусть без ограничения общности $AC >AB.$ Отметим на $AB$ и $AC$ такие точки $′ P$ и $′ Q ,$ что $′ ′ AC+AB- BP =CQ = 2 .$ Из равнобедренности треугольника $′ ′ AP Q$ следует, что прямая $′ ′ P Q$ параллельна биссектрисе угла $A,$ а из теоремы Менелая следует, что $′ ′ P Q$ проходит через середину отрезка $BC.$ Следовательно, середина отрезка $P Q$ движется линейно по прямой, параллельной биссектрисе угла $A.$ А так как $BC1 = CB1,$ то есть момент времени, когда $P = C1,Q = B1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#81682

Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC.$ Прямая, перпендикулярная стороне $BC,$ пересекает отрезок $AB$ и прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A,O$ и середины отрезков $BP$ и $CQ$ лежат на одной окружности.

Показать доказательство

Пусть точка $X$ движется линейно по $BC.$ Тогда прямая $ℓ$ проходящая через $X$ перпендикулярно прямой $BC,$ движется линейно. Следовательно, точки $P$ и $Q$ движутся по $AB$ и $AC$ линейно. Значит и середины отрезков $BP$ и $CQ$ движутся линейно. Следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам $BP$ и $CQ$ движутся линейно. Таким образом, $M$ — точка пересечения этих серединных перпендикуляров движется линейно. Осталось показать, что $M$ движется по серединному перпендикуляру к отрезку $AO,$ откуда и будет следовать решение задачи. Для этого можно рассмотреть положения $X = B$ и $X = C,$ в которых утверждение задачи доказывается не сложно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#81683

Из ортоцентра $H$ треугольника $ABC$ опущены перпендикуляры на внутреннюю и внешнюю биссектрисы угла $B.$ Пусть $P$ и $Q$ — основания этих перпендикуляров. Покажите, что $PQ$ делит сторону $AC$ пополам.

Показать доказательство

Будем линейно двигать точку $A$ по прямой $AB.$ Тогда точка $M$ — середина отрезка $AC$ и высота, опущенная из $A$ на сторону $BC,$ будут двигаться линейно. Так как высота, опущенная из $C$ на сторону $AB$ не меняется, то и ортоцентр будет двигаться линейно. Биссектрисы угла $B$ также не меняются, откуда получаем, что точки $P$ и $Q$ тоже двигаются линейно. Нам осталось найти три момента времени, когда точки $P,Q$ и $M$ лежат на одной прямой. В качестве таких моментов можно выбрать такие точки $A,$ что

$1)$ треугольник $ABC$ равнобедренный;

$∘ 2)∠BAC = 90;$

$∘ 3)∠BCA = 90.$

В каждом из этих трёх различных случаев нетрудно проверить утверждение задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#81684

Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проводится окружность, которая второй раз пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C 1$ и $B1$ соответственно. Пусть $H$ и $H1$ — ортоцентры треугольников $ABC$ и $AB1C1.$ Докажите, что прямые $BB1,CC1,HH1$ пересекаются в одной точке.

Показать доказательство

Будем линейно двигать прямую $ℓ= BB . 1$ Тогда точки $B$ и $B 1$ будут линейно двигаться по прямым $AB$ и $AC,$ причём четырёхугольник $BC1B1C$ будет всегда оставаться вписанным. Значит, $S$ — точка пересечение прямых $BB1$ и $CC1$ движется линейно. Аналогично предыдущей задаче ортоцентры $H$ и $H1$ движутся линейно. Если в три момента времени точки $S,H$ и $H1$ будут на одной прямой, то они всегда будут на прямой и задача будет решена. В качестве этих моментов можно выбрать моменты

$1)B =C1;$

$2)B1 = C;$

$3)AC1 =AB1,AB = AC.$

В этих случаях утверждение задачи доказать нетрудно.