Тема Преобразования плоскости

Линейное движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразования плоскости

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98193

Три прямые двигаются линейно. Сколько требуется моментов времени, в которые они должны пересечься в одной точке, чтобы утверждать, что они всегда пересекаются в одной точке?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что одного момента времени не хватит. Хватит ли двух?

Подсказка 2

Да, пусть существуют точки A и B, в каждой из которой пересекаются три прямые соответственно в первой и второй момент времени. Что можно сказать про точку пересечения первой и второй прямой?

Подсказка 3

С одной стороны она движется линейно по прямой, а с другой совпадает с точками A и B в некоторые моменты времени, а значит, она движется линейно по AB с фиксированной скоростью. Как эти рассуждения помогают в доказательстве?

Подсказка 4

Проведем аналогичные рассуждения для других прямых. Тогда каждая прямая проходит через точку, которая движется по прямой AB с данной скоростью, а значит, все прямые пересекаются в одной точке.

Показать ответ и решение

Покажем, что двух моментов времени будет достаточно. Обозначим прямые за $ℓ,ℓ ,ℓ . 1 2 3$ По предположению, существуют две точки $A$ и $B,$ что в первый момент времени каждая прямая проходит через $A,$ а во второй — через $B.$

Таким образом, при любых $i⁄= j ∈ {1,2,3}$ точка пересечения прямых $ℓi$ и $ℓj$ движется линейно и совпадает с точкой $A$ в первый и с точкой $B$ — во второй момент времени, следовательно, она движется линейно по прямой $AB,$ ее положение в каждый момент времени определено однозначно, а значит, совпадает для всех указанных $i,j.$

Ответ:

Два момента времени

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98194

По сторонам $BA$ и $CA$ угла $BAC$ линейно движутся точки $B t$ и $C t$ соответственно. Докажите, что всевозможные окружности $(ABtCt)$ проходят через фиксированную точку, отличную от точки $A.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Известно, что некоторое множество окружностей имеют две общие точки. Что можно сказать про расположение их центров?

Подсказка 2

Они лежат на фиксированной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку между данными двумя точками. Верен ли этот факт в обратную сторону?

Подсказка 3

Да. Таким образом, осталось показать, что все возможные точки O_t — центры окружности (AB_tC_t) лежат на некоторой фиксированной прямой. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Достаточно показать, что точка O_t движется линейно при движении точек B_t, C_t. Почему это так?

Подсказка 5

Она является точкой пересечения серединных перпендикуляров к AB_t и AC_t, каждый из которых движется линейно.

Показать доказательство

Пусть $O t$ — центр окружности $(AB C). t t$ Покажем, что $O t$ движется линейно. Действительно, в силу линейности движения $B , t$ верно, что середина отрезка $ABt$ так же движется линейно, то есть и серединный перпендикуляр, как прямая постоянного направления, проходящая через точку, которая движется линейно, движется линейно. Тем самым, $Ot,$ как точка пересечения серединных перпендикуляров, что движутся линейно, движется линейно.

$PIC$

Пусть $ℓ$ — прямая на которой лежат все возможные точки $Ot,$ $A′$ — отражение $A$ относительно $ℓ.$ Тогда $A′Ot =OtA$ и, следовательно, $A′$ принадлежит $(ABtCt).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98195

В четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $M,$ $∠AMD = 120∘,$ $AM = MD.$ На стороне $BC$ выбрана произвольная точка $E.$ Через нее проведены прямые, параллельные диагоналям, которые пересекают четырехугольник второй раз в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что центр описанной окружности треугольника $PEQ$ лежит на прямой $AD.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Точки P и Q однозначно определяется по четырехугольнику ABCD и положению точки E. Какой их методов решения помогает воспользоваться этим наблюдением?

Подсказка 2

Будем двигать точку E линейно. Очевидно, что точки P и Q так же будут двигаться линейно. Покажите, что тогда и центр окружности (EPQ) движется линейно.

Подсказка 3

Достаточно показать, что серединный перпендикуляр к EP движется линейно. Поскольку направление прямой фиксировано, достаточно проверить, что середина EP движется линейно. Почему это так?

Подсказка 4

Она является точкой пересечения прямой EP и медианы треугольника ABC из точки B. Тем самым, мы показали, что центр (EPQ) движется линейно. Осталось найти два положения точки E, при которых центр будет лежать на AD. Какие положения можно рассмотреть?

Подсказка 5

Докажите, что при E=B данное условие выполняется. Как определяется окружность (EPQ) в данном случае?

Подсказка 6

Это окружность, проходящая через точки D и A и касающаяся прямой, параллельной AC и проходящей через B. Как доказать, что ее центр O лежит на AD?

Подсказка 7

Докажите, что углы BDO и BDA равны 30⁰, тем самым завершите решение.

Показать доказательство

Будем двигать точку $E$ линейно по прямой $BC.$ Прямая $EP$ , как прямая постоянного направления, проходящая через точку $E,$ так же движется линейно. Середина $EP$ — точка пересечения прямой $EP$ с прямой, содержащий медиану треугольника $ABC$ из вершины $B,$ следовательно, движется линейно, а значит, и серединный перпендикуляр к отрезку $EP$ движется линейно.

$PIC$

Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку $\text{[math]}$ движется линейно, а значит, и точка с серединным перпендикуляром к отрезку $EP$ — центр $O$ окружности $P EQ$ — движется линейно. Тем самым, нам достаточно проверить, что в двух моментах времени точка $O$ лежит на $AD.$

Покажем, что в положении $E = B$ указанное условие выполняется. Таким образом, достаточно показать, что центр окружности, проходящей через точки $D$ и $B$ и касающейся прямой, проходящей через $B,$ параллельно $AC,$ лежит на $AD.$

$PIC$

Действительно, в силу указанного касания $--- ∠BOD =BD = 120∘,$ следовательно, $∠BDO = 30∘,$ кроме этого, из равнобедренности треугольника $AMD$ следует, что $∠BDA =30∘,$ последнее влечет принадлежность точек $A,O,D$ одной прямой. Утверждение в положении $E =C$ доказывается аналогично, что завершает доказательство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75635

Точки, разбивающие каждую из сторон четырехугольника на три равные части, соединили так, что четырехугольник разбился на $9$ меньших четырехугольников. Докажите, что каждый из полученных отрезков делится точками пересечения на три равные части.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть точки $M$ и $N$ будут двигаться линейно из точки $A$ в точку $D$ и из точки $B$ в точку $C$ соответственно с равными скоростями Пусть $P$ точка такая, что $APPB-= 12,$ тогда точка $P$ так же движется линейно.

Пусть $M$ на отрезке $AD$ такая, что $AMMD-= 12,N$ на отрезке $BC$ такая, что $BNNC-= 12,O$ на отрезке $MN,$ что $MOON-= 12,Q$ на отрезке $DC,$ что $DQQC-= 12.$ Тогда $O$ и $Q$ являются положениями точки $P,$ следовательно лежат на одной прямой с $P.$

Аналогично с остальными парами прямых.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75639

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $BN.$ На стороне $AB$ выбрана точка $P,$ а на сторонах $AC$ и $BC$ выбраны точки $L$ и $K$ такие, что $PL$ параллельно $BN,$ а $PK$ параллельно $AM.$ Докажите, что отрезок $LK$ делится медианами на три равные части.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим пересечение KL и BN за Q. Наша цель - доказать, что KQ/QL=1/2. Откуда вообще искать отношение KQ/QL?

Подсказка 2

Верно, искомое отношение можно найти из теоремы Менелая для △CKL и точек B, Q, N. Далее будет полезно обозначить точки A₁ и B₁ пересечения прямых из C, параллельных BN и AM с BA, и перенести отношения.

Подсказка 3

Теперь отношения, через которые выражено KQ/QL, это BA₁/PB и BP/B₁B, в произведении которых остаётся лишь BA₁/B₁B. А его можно посчитать, ведь мы знаем, как BA₁ и B₁B относятся.

Показать доказательство

$PIC$

Первое решение. Пусть $P$ движется линейно по прямой $AB,$ тогда точка $L$ является точкой пересечения прямой $LP,$ которая имеет постоянное направление и проходит через $P,$ и прямой $AC,$ которая не движется, движется линейно. Аналогично, $K$ движется линейно.

Пусть $P$ — точка на отрезке $LK$ такая, что $LP-= 1. PK 2$ Заметим, что $P$ так же движется линейно. Осталось доказать, что в двух положениях $P$ лежит на $AM.$

Рассмотрим положение $P = A.$ Тогда $L =A,K = M,$ тогда прямые $LK$ и $AM$ совпадают, откуда очевидно требуемое.

Рассмотрим положение $P = B.$ Тогда $K = B$ и $N = L,$ следовательно $P$ точка на медиане $NB$ такая, что $NP- = 1, P B 2$ то есть является центром тяжести исходного треугольника, а значит лежит на медиане $AM,$ что завершает доказательство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть $Q$ — пересечение $KL$ и $BN.$ По теореме Менелая для $△CKL$ и точек $B,Q,N,$ лежащих на прямых, содержащих его стороны и принадлежащих одной прямой

KQ- LN- CB- QL ⋅NC ⋅BK = 1

следовательно $KQ- NC- BK- QL = LN ⋅CB.$ Обозначим $A1$ и $B1$ точки пересечения прямых из $C,$ параллельных $BN$ и $AM$ с $BA.$ Понятно, что $AM$ и $BN$ являются средними линиями треугольников $CB1B$ и $AA1C$ соответственно, а значит, $BA1 =AB1 = BA.$ По теореме Фалеса для троек параллельных прямых $LP,NB, CA1$ и $KP,MA, CB1$

NC BA LN- =-PB1

BK- = BP-- CB B1B

Итак,

KQ-= BA1-⋅-BP-= BA1-= 1 QL PB B1B B1B 2

из чего следует требуемое.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75640

На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ с центром $I$ отмечена точка $X.$ Из точки $X$ опустили перпендикуляры $XP$ и $XQ$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что прямая $XI$ делит отрезок $PQ$ пополам.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть точка $X$ движется линейно по прямой $BC.$ Тогда прямая $XP,$ как прямая постоянного направления, которая проходит через $X,$ так же двигается линейно, следовательно точка $P,$ как точка пересечения прямых $AB$ и $XP,$ которые двигаются линейно, так же движется линейно. Аналогично точка $Q$ движется линейно. Наконец, середина $M$ отрезка $P Q$ движется линейно.

Теперь для доказательства достаточно показать, что точки $I,M,X,$ каждая из которых движется линейно при движении $X$ лежат на одной прямой в три момента времени. В качестве искомых положений можно взять $X = B,X = C,$ а так же $X$ — середина $BC.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#75641

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $B 1$ и $C 1$ соответственно. Докажите, что прямая, соединяющая ортоцентры треугольников $ABC$ и $AB1C1$ перпендикулярна прямой, соединяющей середины отрезков $BC1$ и $B1C.$ Выведите отсюда существование прямой Обера (ортоцентры четырёх треугольников, образованных четырьмя прямыми общего положения, лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой Гаусса этих четырёх прямых).

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BC ′$ и $CB′$ соответственно, $H$ и $H′$ — ортоцентры треугольников $ABC$ и $AB′C′$ соответственно.

Пусть точка $B ′$ движется линейно по прямой $AB.$ Точка $H′$ определяется как точка пересечения прямых, перпендикулярных $AB$ и $AC,$ проведенных через точки $C′$ и $B′$ соответственно. Первая из них неподвижна при движении $B ′,$ вторая же имеет постоянное направление и проходит через точку $B′,$ которая движется линейно, а значит и сама движется линейно, таким образом точка $H ′$ движется линейно.

Вектор $MN$ проходит через середины противоположных сторон четырехугольника $BC ′CB ′,$ тем самым верно, что

---- ---- MN-= CC-′+-B′B- 2

Вектор $CC-′$ не изменяется, а вектор $BB-′$ имеет постоянное направление, а его длина меняется линейно. Таким образом прямая $MN$ движется линейно.

Наконец, достаточно проверить, что в три момента времени угол между прямыми $MN$ и $′ HH ,$ которые движутся линейно равен $∘ 90 .$

Положение 1. Рассмотрим точку $′ B$ такую, что $′ ′ C B||CB.$ В этом случае $MN ||BC$ , а прямая $′ HH$ совпадает с прямой с высотой из $A,$ откуда имеет место перпендикулярность.

Положение 2. Пусть $′ B = B.$ Тогда прямая $MN$ является средней линией треугольника $ABC,$ параллельной $AC,$ а прямая $′ HH$ совпадает с высотой из точки B на прямую $AC.$

Положение 3. Пусть точка $′ B$ такая, что $′ ′ CB ||BC .B$ этом случая прямая $MN$ является медианой треугольника $′ BAC$ и, как известно, проходит через точку $S$ пересечения диагоналей трапеции $′ ′ BB CC .$ Далее покажем, что $′ HH$ перпендикулярно прямой $AS.$

Пусть $A1 = AH ∩BC,A2 =AH ′∩B ′C ′.$ Заметим, что $AS$ является диаметром окружности, описанной около $A2AA1,$ следовательно, достаточно показать, что прямые $A1A2$ и $HH ′$ антипараллельны в угле $A2AA1,$ то есть принадлежность точек $A1,A2,H, H′$ одной окружности.

Пусть $B1 = BH ∩AC,B2 = B′H ′∩AC ′.$ Заметим, что точки $H,A1,C,B1$ лежат на одной окружности, следовательно, $AH ⋅AA1 =AB1 ⋅AC.$ Аналогично $AH′⋅AA2 =AB2 ⋅AC′.$

$PIC$

Наконец, достаточно показать, что $AB ⋅AC = AB ⋅AC′, 1 2$ что эквивалентно $AC ∕AC ′ =AB ∕AB , 2 1$ последнее верно, поскольку каждое из отношений равно $AB′∕AB.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75642

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $X.$ Пусть $X ,X ,X ,X ,X ,X AB BC CD DA AC BD$ — проекции точки $X$ на прямые $AB, BC,CD,DA,AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $XABXCD, XBCXDA$ и $XACXBD$ лежат на одной прямой.

Показать доказательство

Пусть $Ω$ — окружность, описанная около четырехугольника $ABCD, O$ — центра $Ω,$ точки $M,N$ — точки пересечения $Ω$ и прямой $OX.$ Пусть точка $X$ движется линейно по прямой $OX,$ тогда точки $XAB, XBC,XCD,XDA, XAC,XBD$ как проекции точки $X$ на прямые, проходящие через две вершины четырехугольника $ABCD$ , так же движутся линейно. Наконец, середины отрезков $XABXCD, XBCXDA$ и $XACXBD,$ как середины отрезков, концы которых движутся линейно, движутся линейно. Покажем, что существует три положения точки $X,$ при которых утверждение задачи верно.

Положение 1. Пусть точка $X$ совпадает с точкой $O.$ Тогда точки $XAB,XBC, XCD,XDA, XAC$ является серединами соответствующих сторон, но тогда середина каждого из отрезков является центром масс четырехугольника, следовательно, середины отрезков $XABXCD, XBCXDA$ и $XACXBD$ совпадают, то есть лежат на одной прямой.

Положение 2. Пусть точка $X$ совпадает с точкой $M.$

Заметим, что точки $XAB,XAC,XBC$ коллинеарны, поскольку образуют прямую Симсона точки $M$ и треугольника $ABC.$ Аналогично, коллинеарны тройки точек $(XAB,XAD,XBD ),(XAC,XAD, XDC),(XDC, XBD,XBC ).$ Осталось заметить, что точки $XAB, XBC,XCD,XDA, XAC$ образуют полный четырехсторонник, а утверждение задачи следует из теоремы Ньютона.

$PIC$

Положение 3. Пусть точка $X$ совпадает с точкой $N.$ Доказательство аналогично предыдущему пункту.

Замечание. Точка $M$ является точкой Микеля полного четырехсторонника, образованного вершинами $XAB,XBC,XCD, XDA,XAC,XBD.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#75644

На описанной окружности треугольника $ABC$ отмечена точка $X.$ Прямые $BX$ и $CX$ пересекают высоты $CC ,BB 1 1$ в точках $P,Q$ соответственно. Докажите, что середина отрезка $P Q$ лежит на прямой $B1C1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким способом можно показать, что середина некоторого отрезка лежит на данной прямой?

Подсказка 2

Мы можем показать, что концы отрезка движутся линейно, после найти два частных случая при каждом из которых середина лежит на данной прямой. Как можно доказать, что точка Q движется линейно при линейном движении точки P?

Подсказка 3

Легко показать, что треугольники PC₁B и QB₁C подобны, выведите из этого, что Q движется линейно.

Подсказка 4

Осталось найти два положения точки P. Утверждение в положении P=C₁ очевидно. Найдите второе положение.

Подсказка 5

В качестве второго можно взять положение, когда P лежит на описанной около ABC окружности. Точка Q при этом совпадает с ортоцентром треугольника. Докажите, что в этом случае C₁ является серединой отрезкой PQ, чем завершите решение.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть точка $P$ движется линейно по прямой $CC1.$ Покажем, что точка $Q$ при этом движении линейно движется по прямой $BB1.$ Действительно, точки $A,B,C,X$ лежат на одной окружности, следовательно $∠XBA =∠XCA,$ кроме этого

∠P C1B =90∘ = ∠QB1C

что влечет подобие треугольников $PC1B$ и $QB1C,$ откуда заключаем равенство

B1Q = PC1BC1- CB1

следовательно, расстояние от $B1$ до $Q$ линейно зависит от длины отрезка $C1B.$

Таким образом, точки $P$ и $Q$ движутся линейно, следовательно середина, соединяющего их отрезка так же движется линейно.

Осталось показать существование двух положений, при которых она лежит на прямой $B1C1.$ Такими, например, являются положения $P =A$ и $P = BB1 ∩(ABC ).$ Выполнение условия задачи очевидно в первом случае, а во втором эквивалентно утверждению о том, что точка, симметричная ортоцентру относительно одной из сторон треугольника, лежит на его описанной окружности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#81657

Внутри треугольника $ABC$ расположен треугольник $P QR.$ Известно, что сумма расстояний от вершины треугольника $PQR$ до сторон треугольника $ABC$ не зависит от выбора вершины треугольника $PQR.$ Докажите, что треугольник $ABC$ — правильный.

Показать доказательство

Пусть сумма расстояний от вершины треугольника $PQR$ до сторон треугольника $ABC$ равна $S.$ Рассмотрим линейную функцию $f(X)= dist(X,AB )+ dist(X,BC )+dist(X,AC)− S,$ где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек треугольника $ABC.$ Тогда $f$ это линейная функция, которая обнуляется в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Следовательно, функция $f$ тождественно равна нулю. Откуда посредством подстановки точек $A,B$ и $C$ в $f$ получаем, что все высоты треугольника $ABC$ равны между собой. Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#81661

Дан треугольник $ABC.$ Пусть $A 1$ и $B 1$ — основания биссектрис из вершин $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что для любой точки $X$ на отрезке $A1B1$ выполнено равенство $a+ b= c,$ где $a,b$ и $c$ — расстояния от $X$ до $BC,CA$ и $AB$ соответственно.

Показать доказательство

Рассмотрим линейную функцию $f(X)= dist(X,CA )+dist(X,CB)− dist(X,AB ),$ где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек треугольника $ABC.$ Заметим, что $f(A1)= f(B1)= 0,$ а также $f(A)⁄= 0.$ Следовательно, нули функции $f$ лежат на прямой $A1B1,$ откуда и следует решение задачи.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#81665

В треугольнике $ABC$ длины высот из точек $A$ и $C$ равны $2a$ и $2c$ соответственно. С центрами в $A$ и $C$ построены окружности радиусов $a$ и $c$ соответственно. Пусть $ℓ$ — общая внешняя касательная к этим окружностям, не пересекающая треугольник $ABC.$ Докажите, что центр вписанной окружности треугольника, образованного прямыми $AB, BC$ и $l,$ лежит на $AC.$

Показать доказательство

Обозначим центр вписанной окружности из условия за $I.$ Рассмотрим линейную функцию

f(X)= dist(X,BA )+ dist(X,BC )− 2dist(X,ℓ)

где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек треугольника $ABC.$ Заметим, что $f(A)= f(C )=f(I)= 0,$ а также $f(B)⁄= 0.$ Следовательно, нули функции $f$ лежат на прямой $AB,$ откуда и следует решение задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#81669

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD.$ Докажите, что для любой точки $O$ внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров $OSAB$ и $OSCD$ равна сумме объёмов тетраэдров $OSAD$ и $OSBC.$

Показать доказательство

Направленное расстояние от точки $(x,y ,z ) 0 0 0$ до плоскости $Ax +By + Cz+ D= 0$ равно $Ax0√+By0+Cz0+D-, A2+B2+C2$ то есть оно является линейной функцией. Следовательно, направленный объем пирамиды $XABC$ при фиксированных $A,B$ и $C$ тоже является линейной функцией. Нулями линейной функцией в пространстве является или всё пространство, или плоскость, или пустое множество. Рассмотрим линейную функцию $f(X )=SXSAB + SXSCD − SXSAD − SXSBC,$ где все площади направленные и положительные для всех внутренних точек пирамиды $SABCD.$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то обе его диагонали делят площадь пополам. Следовательно, $f(A)= f(B )=f(C)= f(D)= f(S) =0.$ Следовательно, функция $f$ тождественно равна нулю, откуда и следует решение задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#81673

Пусть у четырехугольника $ABCD$ противоположные стороны пересекаются в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что середины отрезков $AC,BD$ и $PQ$ лежат на одной прямой (прямая Гаусса). А если $ABCD$ описан, то там же лежит и центр вписанной в него окружности (теорема Ньютона).

Показать доказательство

Пусть точки $M,N$ и $K$ — это середины отрезков $AC,BD$ и $P Q.$ Рассмотрим линейную функцию $f(X )=S + S − S − S , XAD XBC XAB XCD$ где все расстояния направленные и положительные для всех внутренних точек. Заметим, что $f(A)= −f(C)$ и $f(B )=− f(D )$ и $f(P)= −f(Q).$ Следовательно, $f(A)+f(C)- f(M )= 2 = 0$ ( $M$ — середина $BD$ ), $f(B)+f(D) f(N)= 2 = 0$ ( $N$ — середина $AC$ ) и $f(P)+f(Q)- f(K )= 2 = 0$ ( $K$ — середина $P Q$ ). Также на плоскости существует такая точка $X,$ что $SXAD > 0,SXBC > 0,SXAB < 0,SXCD <0,$ откуда следует, что $f(X)> 0.$ Следовательно, нули функции $f$ лежат на одной прямой, откуда и следует утверждение задачи. Если же $ABCD$ описан (пусть центр окружности это $I$ ), то $f(I)= r⋅(AD + BC − AB − CD)= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#81677

На плоскости даны точки $A$ и $B$ и прямая $ℓ,$ проходящая через точку $A.$ По $ℓ$ линейно движется точка $C.$ Докажите, что у $△ABC$ линейно движется

(a) точка пересечения медиан;

(b) центр описанной окружности;

(d) Останутся ли верными утверждения предыдущих пунктов, если $ℓ$ не обязательно проходит через $A?$

Показать доказательство

Если точка $C$ движется линейно по $ℓ,$ а точки $A$ и $B$ стоят на месте, то:

(a) точка $M$ — середина отрезка $AC$ движется линейно. Следовательно, точка, делящая отрезок $BM$ в отношении $2$ к $1$ тоже движется линейно.

(b) середины отрезков $AC$ и $AB$ движутся линейно. Тогда перпендикуляры, восставленные из них к прямым $ℓ$ и $AB$ движутся линейно, так как прямые $ℓ$ и $AB$ фиксированы. Таким образом, их точка пересечения тоже движется линейно.

(c) высота, опущенная из точки $B$ на сторону $AC$ не меняется, а высота, опущенная из точки $C$ на сторону $AB$ движется линейно, так как сторона $AB$ фиксирована. Следовательно, точка пересечения высот из $C$ и $B$ движется линейно.

(d) Для точки пересечения медиан утверждение останется верным (доказывается аналогично пункту (a)). А для пунктов (b) и (c) есть контрпримеры (например, можно взять прямую $ℓ,$ параллельную $AB$ ).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#81678

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB,AC$ в точках $C ,B 1 1$ соответственно. На отрезках $BC1,AB1$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, что $PC1 =QB1.$ Докажите, что середина отрезка $PQ$ лежит на прямой $B1C1.$

Показать доказательство

Пусть точки $P$ и $Q$ будут двигаться линейно из точки $B 1$ в точку $A$ и из точки $C 1$ в точку $B$ с равными скоростями. Тогда точка $M$ — середина отрезка $P Q$ также будет двигаться линейно. Нам нужно показать, что точка $M$ движется по прямой $B1C1.$ Для этого достаточно найти два момента времени, когда точка $M$ лежит на прямой $B1C1.$ Например, подойдут положения $P = C1,Q = B1$ и $P = B$ или $Q =A$ в зависимости от того какой из отрезков $AB1$ и $BC1$ короче.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#81681

Вневписанные окружности касаются сторон $AB,AC$ треугольника $ABC$ в точках $C ,B 1 1$ соответственно. Докажите, что прямая, соединяющая середины $BC$ и $B1C1,$ параллельна биссектрисе угла $A.$

Показать доказательство

Так как касательные из вершины треугольника к вневписанной окружности, касающейся противоположной стороны, равны полупериметру, то $BC1 = CB1 =p− BC.$ Пусть точки $P$ и $Q$ двигаются линейно из $B$ в $A$ и из $C$ в $A$ с одинаковой скоростью. Тогда $M$ — середина отрезка $PQ$ также двигается линейно. Когда $P = B,Q =C,$ то $M$ — это середина отрезка $BC.$ Пусть без ограничения общности $AC >AB.$ Отметим на $AB$ и $AC$ такие точки $′ P$ и $′ Q ,$ что $′ ′ AC+AB- BP =CQ = 2 .$ Из равнобедренности треугольника $′ ′ AP Q$ следует, что прямая $′ ′ P Q$ параллельна биссектрисе угла $A,$ а из теоремы Менелая следует, что $′ ′ P Q$ проходит через середину отрезка $BC.$ Следовательно, середина отрезка $P Q$ движется линейно по прямой, параллельной биссектрисе угла $A.$ А так как $BC1 = CB1,$ то есть момент времени, когда $P = C1,Q = B1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#81682

Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC.$ Прямая, перпендикулярная стороне $BC,$ пересекает отрезок $AB$ и прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A,O$ и середины отрезков $BP$ и $CQ$ лежат на одной окружности.

Показать доказательство

Пусть точка $X$ движется линейно по $BC.$ Тогда прямая $ℓ$ проходящая через $X$ перпендикулярно прямой $BC,$ движется линейно. Следовательно, точки $P$ и $Q$ движутся по $AB$ и $AC$ линейно. Значит и середины отрезков $BP$ и $CQ$ движутся линейно. Следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам $BP$ и $CQ$ движутся линейно. Таким образом, $M$ — точка пересечения этих серединных перпендикуляров движется линейно. Осталось показать, что $M$ движется по серединному перпендикуляру к отрезку $AO,$ откуда и будет следовать решение задачи. Для этого можно рассмотреть положения $X = B$ и $X = C,$ в которых утверждение задачи доказывается не сложно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#81683

Из ортоцентра $H$ треугольника $ABC$ опущены перпендикуляры на внутреннюю и внешнюю биссектрисы угла $B.$ Пусть $P$ и $Q$ — основания этих перпендикуляров. Покажите, что $PQ$ делит сторону $AC$ пополам.

Показать доказательство

Будем линейно двигать точку $A$ по прямой $AB.$ Тогда точка $M$ — середина отрезка $AC$ и высота, опущенная из $A$ на сторону $BC,$ будут двигаться линейно. Так как высота, опущенная из $C$ на сторону $AB$ не меняется, то и ортоцентр будет двигаться линейно. Биссектрисы угла $B$ также не меняются, откуда получаем, что точки $P$ и $Q$ тоже двигаются линейно. Нам осталось найти три момента времени, когда точки $P,Q$ и $M$ лежат на одной прямой. В качестве таких моментов можно выбрать такие точки $A,$ что

$1)$ треугольник $ABC$ равнобедренный;

$∘ 2)∠BAC = 90;$

$∘ 3)∠BCA = 90.$

В каждом из этих трёх различных случаев нетрудно проверить утверждение задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#81684

Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проводится окружность, которая второй раз пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C 1$ и $B1$ соответственно. Пусть $H$ и $H1$ — ортоцентры треугольников $ABC$ и $AB1C1.$ Докажите, что прямые $BB1,CC1,HH1$ пересекаются в одной точке.

Показать доказательство

Будем линейно двигать прямую $ℓ= BB . 1$ Тогда точки $B$ и $B 1$ будут линейно двигаться по прямым $AB$ и $AC,$ причём четырёхугольник $BC1B1C$ будет всегда оставаться вписанным. Значит, $S$ — точка пересечение прямых $BB1$ и $CC1$ движется линейно. Аналогично предыдущей задаче ортоцентры $H$ и $H1$ движутся линейно. Если в три момента времени точки $S,H$ и $H1$ будут на одной прямой, то они всегда будут на прямой и задача будет решена. В качестве этих моментов можно выбрать моменты