Линейное движение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В четырехугольнике 
диагонали пересекаются в точке 
На стороне 
выбрана произвольная
точка 
Через нее проведены прямые, параллельные диагоналям, которые пересекают четырехугольник второй раз в точках 
и 
Докажите, что центр описанной окружности треугольника 
лежит на прямой 
Подсказка 1
Точки P и Q однозначно определяется по четырехугольнику ABCD и положению точки E. Какой их методов решения помогает воспользоваться этим наблюдением?
Подсказка 2
Будем двигать точку E линейно. Очевидно, что точки P и Q так же будут двигаться линейно. Покажите, что тогда и центр окружности (EPQ) движется линейно.
Подсказка 3
Достаточно показать, что серединный перпендикуляр к EP движется линейно. Поскольку направление прямой фиксировано, достаточно проверить, что середина EP движется линейно. Почему это так?
Подсказка 4
Она является точкой пересечения прямой EP и медианы треугольника ABC из точки B. Тем самым, мы показали, что центр (EPQ) движется линейно. Осталось найти два положения точки E, при которых центр будет лежать на AD. Какие положения можно рассмотреть?
Подсказка 5
Докажите, что при E=B данное условие выполняется. Как определяется окружность (EPQ) в данном случае?
Подсказка 6
Это окружность, проходящая через точки D и A и касающаяся прямой, параллельной AC и проходящей через B. Как доказать, что ее центр O лежит на AD?
Подсказка 7
Докажите, что углы BDO и BDA равны 30⁰, тем самым завершите решение.
Будем двигать точку 
линейно по прямой 
Прямая 
, как прямая постоянного направления, проходящая через точку 
так
же движется линейно. Середина 
— точка пересечения прямой 
с прямой, содержащий медиану треугольника
из вершины 
следовательно, движется линейно, а значит, и серединный перпендикуляр к отрезку 
движется
линейно.
.png)
Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку 
движется линейно, а значит, и точка с серединным перпендикуляром к отрезку
— центр 
окружности 
— движется линейно. Тем самым, нам достаточно проверить, что в двух моментах времени точка 
лежит на 
Покажем, что в положении 
указанное условие выполняется. Таким образом, достаточно показать, что центр
окружности, проходящей через точки 
и 
и касающейся прямой, проходящей через 
параллельно 
лежит на
.png)
Действительно, в силу указанного касания 
следовательно, 
кроме этого, из равнобедренности
треугольника 
следует, что 
последнее влечет принадлежность точек 
одной прямой. Утверждение в
положении 
доказывается аналогично, что завершает доказательство.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
