Применение производной в многочленах

Прежде чем доказывать лемму Гензеля сформулируем следующий вспомогательный результат.

Лемма. Пусть — многочлен степени Тогда

Док-во леммы. Доказательство достаточно провести для многочлена вида ввиду линейности. Для такого многочлена необходимое равенство приобретает вид

так что оно представляет из себя в точности формулу бинома Ньютона. Лемма доказана.

Также давайте докажем более строгое утверждение. Будем доказывать, что найдется такое что

Индукцией по

База. При удовлетворяющее всем условиям теоремы.

Переход индукции. Пусть теперь и для утверждение верно. Мы ищем элемент с условиями и Но для этого элемента будет тогда также выполнено Ввиду существования решения этого сравнения по модулю хотим, чтобы Поэтому будем искать в виде с некоторым целым числом В приведённой системе вычетов по модулю найдётся ровно элементов такого вида, причём соответствующие им значения составят полную систему вычетов по модулю Условие будет выполнено автоматически. Для проверки условия воспользуемся леммой и запишем

Таким образом, должно быть выполнено

Так как то обе части и модуль этого сравнения можно поделить на Получим

Поскольку

полученное сравнение относительно имеет решение. А следовательно нужное существует.