Применение производной в многочленах

Будем говорить, что одночлен при дифференцировании превращается в одночлен (или исчезает, если получившийся одночлен равен Результат игры зависит от того, многократным дифференцированием какого одночлена получена итоговая константа. При этом на каждом ходу исчезает не более одного одночлена, поэтому игра продлится минимум ход (изначально одночленов

Петина стратегия — всё время дифференцировать многочлен. Петя начинает первый, он сделает минимум ход и уничтожит все одночлены, изначальная степень которых была от до включительно. Таким образом, вне зависимости от действий соперника, Петя гарантирует, что оставшийся одночлен будет иметь изначальную степень не меньше а значит, его итоговое значение после превращения в константу будет не меньше (

Васина стратегия — всё время стирать старший член многочлена. Вася сделает не менее ходов и уничтожит все одночлены, изначальная степень которых была больше Таким образом, вне зависимости от действий соперника, Вася гарантирует, что оставшийся одночлен будет иметь изначальную степень не больше а значит, его итоговое значение после превращения в константу будет не больше

Обозначим эти чудесные многочлены как и . Из условия следует, что разность этих многочленов имеет 2024 корня, нетождественна равна нулю (потому что многочлены различные) и может иметь степень не выше 2024. Поэтому при каком-то ненулевом числе можно записать

В условии спрашивают, может ли быть Представим в виде и посчитаем производную произведения

Получаем, что в точке 2023 производная не равна нулю:

Из исходного равенства заключаем, что кратно После взятия производной имеем

следовательно, кратно наконец

кратно так же из следует, что НОД Таким образом, многочлен кратно следовательно,

C другой стороны, из изначального равенства, имеем

что влечет противорчие.

Производная многочлена равна

Видно, что 36 корней этого выражения являются корнями многочлена или его производной (могут быть одновременно корнями и многочлена, и производной).

По теореме Ролля между каждыми двумя корнями многочлена находится корень производной, не являющийся при этом корнем многочлена. Поэтому если у многочлена хотя бы 19 корней, то у его производной хотя бы 18 отличных от этих 19 корней. Так что суммарно уже хотя бы различных корней, а это уже больше 36.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма (доказывать на олимпиаде не требовалось): Если число является корнем многочлена кратности то для производной число является корнем кратности

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример на 18 корней строится так: рассмотрим многочлен

У него и у его производной 18 корней, но есть общий (только общий по лемме, оставшиеся 17 корней находятся между корнями по теореме Ролля). Тогда у 35 корней.

Но при достаточно маленьком (можно взять конкретное ) многочлен будет иметь так же 18 корней и такую же производную, но будет иметь уже 36 корней за счёт того, что перестанеть являться корнем .

Не умаляя общности, пусть Рассмотрим многочлен Заметим, что все корни многочленов и являются корнями многочлена Заметим, что в сумме у многочленов и ровно корней (с учетом кратности). При этом каждый из корней этих многочленов входит с кратностью на один меньше в производную Всего у производной не более корня, поэтому суммарно различных корней у и не меньше Значит, откуда

Заметим, что

откуда при всех Значит, один из множителей является тождественным нулем. В случае, если то подставив получим Теперь, подставив в исходное условие, получаем что невозможно. Значит,

Взяв производную от обеих частей, получаем Подставив получаем Продифференциировав исходное равенство, получим

Построим последовательность по правилу (то есть больший корень уравнения ). Заметим, что Тогда из того, что функция строго возрастающая, заключаем и так далее. То есть наша последовательность строго возрастающая (в частности — вещественный), а значит, все ее члены различны и для всех натуральных Теперь докажем, что для любого идукцией по База для была доказана ранее. Подставив в продифференциированное равенство, получим

откуда или В первом случае, подставив в исходное равенство, получим

то есть приходим к противоречию. Значит, — переход доказан. То есть все члены построенной последовательности являются корнями многочлена откуда То есть для некоторого вещественного Снова подставив в исходное равенство, получаем откуда

Пусть

следовательно,

тогда для любого мы имеем

Таким образом, достаточно показать, что для произвольного набора различных чисел верно тождество

Рассмотрим данное выражение как функцию от Домножив ее на

получим многочлен причем в каждое слагаемое входит в степени не больше и в каждой из точек

следовательно, является тождественным нулем, что доказывает данное тождество.

Предположим, что существует неприводимый над многочлен имеющий кратный корень. Тогда у многочлена тоже есть этот корень, где — производная Пусть Тогда и

так как у и есть общий корень. Но тогда приводим, так как делится на многочлен меньшей ненулевой степени с рациональными коэффициентами.

Заметим, что имеет корней: по одному на каждом из интервалов (точки локального экстремума на промежутках знакопостоянства Тогда у нет кратных корней. Тогда любой корень имеет кратность не выше 2. Тогда так как в противном случая у есть корни кратности не меньше 3.

Пусть — корень производной на промежутке Пусть и Тогда и имеют общий корень. Тогда — кратный корень а потому делится на

Положим

Поскольку для каждого

то — многочлен с положительным коэффициентом при старшей степени (так как ), причем старшая степень четна, иначе условие не может быть верно при всех Пусть — глобальный минимум Тогда достаточно показать, что Действительно, имеем

то есть

Пусть Если многочлен имеет кратный корень, то этот же корень имеет и его производная. Найдем производную:

Допустим, что и имеют общий корень Тогда является также является корнем уравнения Тогда откуда Однако не является решением ни одного из уравнений и Значит, у нет кратных корней.

Прежде чем доказывать лемму Гензеля сформулируем следующий вспомогательный результат.

Лемма. Пусть — многочлен степени Тогда

Док-во леммы. Доказательство достаточно провести для многочлена вида ввиду линейности. Для такого многочлена необходимое равенство приобретает вид

так что оно представляет из себя в точности формулу бинома Ньютона. Лемма доказана.

Также давайте докажем более строгое утверждение. Будем доказывать, что найдется такое что

Индукцией по

База. При удовлетворяющее всем условиям теоремы.

Переход индукции. Пусть теперь и для утверждение верно. Мы ищем элемент с условиями и Но для этого элемента будет тогда также выполнено Ввиду существования решения этого сравнения по модулю хотим, чтобы Поэтому будем искать в виде с некоторым целым числом В приведённой системе вычетов по модулю найдётся ровно элементов такого вида, причём соответствующие им значения составят полную систему вычетов по модулю Условие будет выполнено автоматически. Для проверки условия воспользуемся леммой и запишем

Таким образом, должно быть выполнено

Так как то обе части и модуль этого сравнения можно поделить на Получим

Поскольку

полученное сравнение относительно имеет решение. А следовательно нужное существует.

Предположим, что кратность корня хотя бы Рассмотрим производную многочлена Она также имеет корень и её коэффициенты являются вещественными. Степень производной меньше, чем степень Следовательно, не многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами и корнем противоречие.

Докажем индукцией по База при тривиальна. Теперь рассмотрим многочлен Предположим, что он имеет хотя бы положительный корень. Упорядочим эти корней по возрастанию: Теперь рассмотрим производную многочлена Заметим, что по теореме Ролля она имеет корень на отрезке при всех То есть у производной хотя бы положительных корней. Теперь посмотрим на производную в явном виде:

Нетрудно видеть, что все положительные корни являются корнями многочлена а он по предположению индукции имеет не более положительный корень, противоречие.

Докажем индукцией по База при очевидна.

Теперь докажем переход. Рассмотрим многочлен Без ограничения общности можно считать, что свободный член многочлена отличен от (умножение на не меняет числа ненулевых коэффициентов). Тогда у многочлена свободный член также отличен от нуля и у производной на один ненулевой коэффициент меньше, чем у Но То есть получается домножением многочлена на ненулевой (как легко проверить) многочлен По предположению индукции у многочлена не менее ненулевых коэффициентов, следовательно, у многочлена не менее ненулевых коэффициентов.

Пусть такие многочлены существуют. Приравнивая степени многочленов слева и справа, понимаем, что для некоторого натурального Возьмём производную от левой и правой частей равенства:

Нетрудно понять, что НОД НОД Следовательно, НОД Из первоначального равенства следует, что делится на а значит НОД Таким образом, делится на Осталось заметить, что это невозможно, поскольку то есть мы пришли к противоречию.

Предположим, что существует. Ясно, что начиная с некоторого натурального многочлен будет либо строго возрастать, либо строго убывать (пусть возрастать). Получается, что с некоторого момента многочлен на натуральных числах будет расти не медленнее, чем показательная функция но такого быть не может. Функция рано или поздно перерастёт любой многочлен.

Оценка.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. В Гришиной сумме могут быть учтены те и только те числа , в которых производная функции обращается в ноль, причем каждое такое может быть посчитано максимум для одного .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство. Как известно, число является кратным корнем многочлена если и только если является корнем многочлена и его производной . Пусть — кратный корень , имеем левую из систем:

Первая равносильность заслуживает пояснений: из уравнения если что и то невозможно поскольку многочлены взаимно-просты. Если же то деление на него является равносильным переходом, а однозначно находится из (*). Второй переход: просто поделили на Осталось заметить, что это в точности производная

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, мы получили что все числа, посчитанные в гришиной сумме, это корни многочлена который имеет не более чем степень (при взятии производной степень многочлена уменьшается на единицу, при перемножении многочленов - складывается, при вычитании не увеличивается), покажем что не может быть тождественно нулем (на самом деле покажем, что степень ровно ). Пусть и — старшие (а значит, ненулевые) коэффициенты многочленов и соответственно. Тогда коэффициент при есть Таким образом, мы доказали оценку сверху: сумма не может быть больше

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример.

Возьмём и такими, что все их корни вещественны, различны и все корни лежат левее всех корней Тогда есть отрезков между соседними корнями на каждом из этих отрезков функция непрерывна (все корни знаменателя правее), равна нулю в концах отрезка и не равна нулю в остальных точках, значит в какой-то точке производная принимает нулевое значение по теореме Ролля — нашли нулей производной. Теперь посмотрим на интервалы между соседними корнями и также на открытый луч от самого правого из них до плюс бесконечности. На каждом интервале функция непрерывна, не меняет знак (поскольку не принимает нулевого значения — все корни числителя лежат левее), в концах интервалов стремиться к бесконечности (поскольку это корни числителя), при аналогично стремится к бесконечности, поскольку степень числителя больше степени знаменателя. Значит, на каждом из промежутков модуль достигает минимума во внутренней точке, там производная обращается в ноль (альтернативно можно воспользоваться теоремой Ролля для функции ) — нашли еще нулей производной.

Докажем, что подходит. Возьмем произвольные из данных точек; существует многочлен степени, не большей график которого проходит через них. Этот многочлен, очевидно, разделяет наши точки.

Осталось построить пример допустимого набора, который нельзя разделить многочленом степени, меньшей Возьмем график некоторого приведенного многочлена степени и расположим на нем точек, чередуя цвета. Предположим, что некоторый многочлен степень которого не больше разделяет эти точки; можно считать, что ниже графика нет красных точек, а выше — синих.

Обозначим степень многочлена равна Кроме того, если и — абсциссы произвольных красной и синей точек, то и то есть и

Заметим, что если при некоторых то существует такая точка для которой ( непостоянен). Это значит, что на любом интервале между красной и синей точками (красная левее синей) найдется точка, в которой значение положительно. Аналогично, на любом интервале между синей и красной точками найдется точка, в которой значение отрицательно. Итого, мы нашли точек, в которых принимает значения чередующихся знаков. Между любыми такими соседними точками имеет корень. Следовательно, у многочлна не менее корней. Но это невозможно, так как — многочлен степени Противоречие

Рассмотрим производные изначальных многочленов: Обе производные имеют нули в

Теперь докажем следующую лемму:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Имеется множество функций, каждая из которых имеет ноль производной в заданной точке. Тогда, любая новая функция, полученная способом, описанным в задаче, из функций множества, тоже будет иметь корень производной в этой точке.

Доказательство леммы. Пусть новая функция была получена из функций и по одному из способов, упомянутых в условии. По условию леммы имеется такое фиксированное что

 1) Значит, — ноль функции

 2) Значит, — ноль функции

 3) Значит, — ноль функции

 4) Значит, — ноль функции 

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма доказана. Вернемся к исходной задаче. По лемме мы получаем, что каждая новая функция на доске будет иметь ноль производной в точке Но рассмотрим функцию, которую мы хотим получить: Заметим, что у ее производной не имеется нуля в точке Значит, по лемме мы не можем получить такую функцию.