Применение производной в многочленах

Докажем индукцией по База при тривиальна. Теперь рассмотрим многочлен Предположим, что он имеет хотя бы положительный корень. Упорядочим эти корней по возрастанию: Теперь рассмотрим производную многочлена Заметим, что по теореме Ролля она имеет корень на отрезке при всех То есть у производной хотя бы положительных корней. Теперь посмотрим на производную в явном виде:

Нетрудно видеть, что все положительные корни являются корнями многочлена а он по предположению индукции имеет не более положительный корень, противоречие.