Применение производной в многочленах

Докажем индукцией по База при очевидна.

Теперь докажем переход. Рассмотрим многочлен Без ограничения общности можно считать, что свободный член многочлена отличен от (умножение на не меняет числа ненулевых коэффициентов). Тогда у многочлена свободный член также отличен от нуля и у производной на один ненулевой коэффициент меньше, чем у Но То есть получается домножением многочлена на ненулевой (как легко проверить) многочлен По предположению индукции у многочлена не менее ненулевых коэффициентов, следовательно, у многочлена не менее ненулевых коэффициентов.