Применение производной в многочленах

Производная многочлена равна

Видно, что 36 корней этого выражения являются корнями многочлена или его производной (могут быть одновременно корнями и многочлена, и производной).

При этом по теореме Ролля между каждыми двумя корнями многочлена находится корень производной, не являющийся при этом корнем многочлена. Поэтому если у многочлена хотя бы 19 корней, то у его производной хотя бы 18 корней, так что суммарно уже 37 различных корней, а это больше 36.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма (доказывать на олимпиаде не требовалось): Если число является корнем многочлена кратности то для производной число является корнем кратности

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример на 18 корней строится так: рассмотрим многочлен

У него и у его производной 18 корней, но есть общий (только общий по лемме, оставшиеся 17 корней находятся между корнями по теореме Ролля). Тогда у 35 корней.

Но при достаточно маленьком (можно взять конкретное ) многочлен будет иметь так же 18 корней и такую же производную, но будет иметь уже 36 корней за счёт того, что перестанеть являться корнем .