Поляры

Заключим все прямоугольники в один большой квадрат со сторонами параллельными осям координат. Выберем во второй четверти точку лежащую выше и левее всего квадрата. Тогда легко понять, что через нее не проходит ни одна восходящая прямая, пересекающая хотя бы один из наших прямоугольников. Теперь каждой восходящей прямой будем сопоставлять точку, являющуюся полюсом этой прямой относительно единичной окружности с центром в Посмотрим на полюсы множества восходящих прямых, пересекающих фиксированный прямоугольник. Покажем, что оно выпукло. Рассмотрим два полюса и Тогда поляра любой точки на отрезке это восходящая прямая, проходящая между полярами и Тогда легко понять, что она тоже будет пересекать выбранный прямоугольник. Таким образом, выпуклость мы показали. С другой стороны мы знаем, что для любых прямоугольников их множества полюсов имеют общую точку. Тогда по теореме Хелли все множества полюсов имеют общую точку Поляра точки будет пересекать все прямоугольники.