Тема Окружности

Поляры

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75805

Пусть высоты $AA 1$ и $BB 1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H.$ Прямые $AB$ и $A B 1 1$ пересекаются в точке $X.$ Докажите, что прямая $XH$ перпендикулярна медиане из вершины $C.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти окружность с центром в точке M, которая проходит через несколько уже отмеченных точек. Какие точки будут лежать на этой окружности?

Подсказка 2

Верно! Точки A,B,A_1,B_1 лежат на одной окружности с центром в точке M! Теперь попробуйте понять, через какие отмеченные точки проходит поляра точки C относительно этой окружности.

Подсказка 3

Правильно! Поляра точки C проходит по свойству секущих через точки X и H. Теперь осталось вспомнить только определение поляры.

Показать доказательство

Точки $A,B,A ,B 1 1$ лежат на одной окружности с центром в середине $AB$ $M.$ По полярному свойству секущих $X$ и $H$ лежат на поляре $C$ относительно окружности $AB1A1B.$ Тогда по определению поляры $CM$ будет перпендикулярна поляре точки $C,$ т.е. $XH ⊥ CM.$

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75806

Петя выбрал натуральные числа $a ,a,...,a , 1 2 n$ провёл на плоскости $n$ прямых и отметил $n$ точек так, что $i$ -ая прямая проходит ровно через $ai$ отмеченных точек. Докажите, что тогда он может провести на плоскости $n$ прямых и отметить $n$ точек так, чтобы $i$ -ая отмеченная точка лежала ровно на $ai$ отмеченных прямых.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что если в условии заменить все прямые на точки, а все точки на прямые, то мы получим утверждение, которое необходимо будет доказать.

Подсказка 2

Какое преобразование позволяет построить биекцию между точками и прямыми на плоскости?

Подсказка 3

Полярное преобразование. Сделайте полярное преобразование относительно произвольной окружности на плоскости и докажите, что полученная конфигурация является искомой.

Показать доказательство

Возьмем произвольную окружность. Сопоставим каждой изначальной точке ее поляру относительно этой окружности, а каждой изначальной прямой — ее полюс. Тогда по основному свойству поляр, если на $i$ -ой прямой лежит $ai$ точек, то поляры этих точек проходят через полюс $i$ -ой точки. Если окажется, что через $i$ -ый полюс проходит еще какая-то прямая, то и прообраз этой прямой — точка на $i$ -ой прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75807

Пусть четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности $ω$ с центром $I$ и вписан в окружность $Ω$ с центром $O.$ Обозначим через $R$ точку пересечения прямых $AC$ и $BD.$ Докажите, что точки $O,I$ и $R$ лежат на одной прямой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть ω касается сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Тогда какой известный факт вы уже знаете про точки пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и KLMN?

Подсказка 2

Правильно! Они совпадают! Теперь рассмотрим поляры точки R относительно окружности ω и окружности Ω?

Подсказка 3

Верно! Они тоже совпадают! Теперь осталось применить дважды определение поляры для точки R.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $ω$ касается сторон $AB,BC, CD,DA$ в точках $K,L,M,N$ соответственно. Как известно, $KM$ и $LN$ тоже пересекаются в точке $R.$ Рассмотрим касательные к $ω$ в точках $K$ и $M.$ Они пересекаются на поляре $R$ относительно $ω.$ В то же время эти касательные — прямые $AB$ и $CD$ соответственно. Т.е. эта же точка пересечения лежит на поляре $R$ относительно $Ω.$ Аналогичные рассуждения можно провести для прямых $AD$ и $BC$ — их точка пересечения тоже будет лежать сразу на полярах $R$ относительно $ω$ и $Ω.$ Получается, что обе поляры проходят через эти две точки, а значит, они совпадают с какой-то прямой $ℓ.$ Но тогда по определению поляры $OR ⊥ ℓ$ и $IR⊥ ℓ,$ а значит, все три точки лежат на одной прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75808

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $C 1$ и $B . 1$ Оказалось, что прямые $BC,B C 1 1$ и касательная к описанной окружности $ABC$ в точке $A$ пересекаются в одной точке $D.$ Докажите, что $D,$ центр вписанной окружности $I$ и центр описанной окружности $O$ лежат на одной прямой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим за A_1 точку касания вписанной окружности и стороны BC. Через какие тогда точки проходит поляра точки D относительно вписанной окружности?

Подсказка 2

Верно! Точки A и A_1 точно лежат на этой поляре. Пусть AA_1 пересекает B_1C_1 в точке X. Чему тогда равно (D,X,B_1,C_1)?

Подсказка 3

Правильно! (D,X,B_1,C_1) = -1. Куда это двойное отношение можно спроецировать? Какой вывод из новой гармонической четверки можно будет сделать?

Подсказка 4

Точно! Мы получим, что (D,A_1,B,C) = -1, поэтому AA_1 — поляра точки D относительно описанной окружности △ABC. Теперь остается дважды воспользоваться определением поляры.

Показать доказательство

Первое решение

Пусть $A1$ — точка касания вписанной окружности и стороны $BC$ . Заметим, что $B1C1$ — поляра точки $A$ относительно вписанной окружности. Точка $D$ лежит на $B1C1$ и $BC,$ а значит прямая $AA1$ — поляра точки $D$ относительно вписанной окружности. Пусть $AA1$ пересекает $B1C1$ в точке $X$ . Тогда $(B1,C1,D,X)= −1.$ Проецируя из точки $A$ на прямую $BC$ мы получаем, что $(B,C,D,A1)= −1.$ Следовательно, точка $A1$ лежит на поляре точки $D$ относительно описанной окружности. Поэтому $AA1$ поляра точки $D$ относительно вписанной и описанной окружности, а значит, по определению поляры $AA1 ⊥ OD$ и $AA1 ⊥ ID$ . Следовательно, точки $O,I,D$ лежат на одной прямой.

$PIC$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

$B1C1$ — поляра точки $A$ относительно вписанной окружности $ω.D ∈B1C1,$ следовательно $A$ будет лежать на поляре $D$ относительно $ω.A1$ — точка касания $ω$ и $BC.DA1$ — касательная к $ω,$ следовательно $A1$ тоже лежит на поляре $D$ относительно $ω.$ Тогда $AA1$ — поляра $D$ относительно $ω.$

Из теоремы Чевы для точки Жергона $ABC$ и из теоремы Менелая для $ABC$ и прямой $B1C1$ получаем: $AC1⋅BA1⋅CB1 =1 = AC1⋅BD⋅CB1. C1B⋅A1C⋅B1A C1B⋅DC⋅B1A$ Откуда следует, что $BA1 :A1C = BD :DC.$ Но т.к. $D$ еще и точка пересечения касательной из $A$ и $BC,$ то $△DAB ∼ △DCA,$ причем $k2 = AC2 = SDCA. AB2 SDBA$ Но $SDCA-= DC- SDBA DB$ и $DC-= A1C . DB A1D$ Тогда точка $A1$ лежит на симедиане угла $A$ $ABC.$ Значит, $AA1$ проходит через точку пересечения касательных к описанной окружности $ABC$ в точках $B$ и $C.$ Но через эту же точку и точку $A$ пройдет поляра $D$ относительно описанной окружности.

Получается, $AA 1$ — одновременно поляра точки $D$ к описанной и вписанной окружностям треугольника $ABC.$ А значит, $DI ⊥ AA 1$ и $DO ⊥AA1$ $⇒$ $D,I,O$ лежат на одной прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75810

Две окружности $ω 1$ и $ω 2$ касаются внешним образом в точке $M.$ На окружности $ω 2$ выбрана произвольная точка $A.$ Точки $B$ и $C$ на $ω1$ таковы, что $AB$ и $AC$ — касательные к $ω1.$ Прямые $BM$ и $CM$ пересекают $ω2$ в точках $E$ и $F.$ Пусть $D$ — точка пересечения касательной из $A$ к $ω2$ с прямой $EF.$ Докажите, что все такие точки $D$ лежат на одной прямой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть общая касательная к w_1 и w_2 пересекает прямую BC в точке Q. Попробуйте найти отмеченные точки, которые лежат на поляре точки Q относительно окружности w_1.

Подсказка 2

Прямая AM является полярой точки Q относительно w_1. Пусть A' — вторая точка пересечения прямой AM и окружности w_1. Что можно сказать про прямую A'Q?

Подсказка 3

Правильно! Прямая A'Q касается окружности w_1. Попробуйте теперь сделать гомотетию с центром в точке M, которая переводит окружность w_1 в окружность w_2. Куда при этой гомотетии перейдет точка Q?

Подсказка 4

Верно! Точка Q перейдет в точку D. Осталось только понять, на какой фиксированной прямой лежит точка D.

Показать доказательство

Очевидно, что $BC$ — поляра $A$ относительно $ω . 1$ Пересечем $BC$ с общей касательной $ω 1$ и $ω 2$ в точке $Q.$ $QM$ — касательная к $ω 1$ и $Q$ лежит на поляре $A,$ значит $AM$ — поляра $Q$ относительно $ω1.$ Пусть $AM$ вторично пересекает $ω1$ в $′ A.$ Тогда $′ QA$ тоже будет касательной к $ω1.$

$PIC$

Рассмотрим гомотетию $h$ в точке $M,$ переводящую $ω1$ в $ω2.$ Очевидно, что она переведет точки $B,C,A′$ в точки $E,F,A$ соответственно. Точка пересечения $A′Q$ и $BC$ перейдет при этой же гомотетии в точку пересечения касательной к $ω2$ в точке $A$ с прямой $EF.$ С другой стороны $Q$ лежала на общей касательной к окружностям. Значит, и ее образ будет лежать на общей касательной. А образ $Q$ — точка $D.$ Значит, все точки $D$ будут лежать на общей касательной $ω1$ и $ω2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75811

$A ,B ,C 1 1 1$ — основания высот остроугольного треугольника $ABC.A B 1 1$ пересекает $AB$ в точке $K,CC 1$ пересекает описанную окружность треугольника в точке $L,M$ — середина $AB.$ Докажите, что точки $C,K,L,M$ лежат на одной окружности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте понять, какие точки лежат на поляре точки C относительно окружности, построенной на AB как на диаметре.

Подсказка 2

Правильно! Точки H и K лежат на поляре точки C! Теперь попробуйте воспользоваться определением поляры и найти еще один треугольник с ортоцентром H.

Подсказка 3

Точка H — ортоцентр треугольника AKM. Теперь осталось воспользоваться фактом, что если отразить ортоцентр треугольника относительно стороны, то полученная точка попадет на описанную окружность.

Показать доказательство

Точки $H$ и $K$ лежат на поляре точки $C$ относительно окружности $Ω,$ построенной на $AB$ как на диаметре. Точка $M$ является центром $Ω,$ следовательно, $CM ⊥ HK,$ значит $H$ является ортоцентром треугольника $CMK.$ Осталось заметить, что точка $L,$ симметричная $H$ относительно прямой $MK,$ лежит на описанной окружности треугольника.

$PIC$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#75812

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $ω.$ Прямая $AB$ пересекает $CD$ в точке $E,AD$ пересекает $BC$ в точке $F.$ Описанная окружность треугольника $AEF$ пересекает $ω$ в точке $G,$ а описанная окружность треугольника $CEF$ пересекает $ω$ в точке $H.$ Докажите, что $AC,BD$ и $GH$ пересекаются в одной точке.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте доказать, что прямые AG, CH, FE пересекаются в одной точке.

Подсказка 2

Обозначим за S эту точку пересечения. Попробуйте посмотреть на поляру точки S относительно (ABCD) и доказать, что она пересекает AC в точке, которая лежит на прямых GH и BD.

Показать доказательство

Пусть $S$ — радикальный центр окружностей $(ABCD ),(FCE ),(FAE).$ Тогда прямые $AG,CH$ пересекаются в точке $S,$ которая лежит на прямой $F E.$ Таким образом, точка пересечения прямых $AC$ и $GH$ лежит на поляре точки $S$ относительно $(ABCD ),$ но такая точка на $AC$ единственна и является полюсом прямой $FE,$ то есть точкой пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77035

Назовем прямую восходящей, если ее угловой коэффициент положителен. Пусть для каждых трех прямоугольников некоторой системы прямоугольников с параллельными сторонами найдется восходящая прямая, их пересекающая. Докажите, что тогда существует восходящая прямая, пересекающая все прямоугольники.

Показать доказательство

Заключим все прямоугольники в один большой квадрат со сторонами параллельными осям координат. Выберем во второй четверти точку $X,$ лежащую выше и левее всего квадрата. Тогда легко понять, что через нее не проходит ни одна восходящая прямая, пересекающая хотя бы один из наших прямоугольников. Теперь каждой восходящей прямой будем сопоставлять точку, являющуюся полюсом этой прямой относительно единичной окружности с центром в $X.$ Посмотрим на полюсы множества восходящих прямых, пересекающих фиксированный прямоугольник. Покажем, что оно выпукло. Рассмотрим два полюса $A$ и $B.$ Тогда поляра любой точки на отрезке $AB$ это восходящая прямая, проходящая между полярами $A$ и $B.$ Тогда легко понять, что она тоже будет пересекать выбранный прямоугольник. Таким образом, выпуклость мы показали. С другой стороны мы знаем, что для любых $3$ прямоугольников их множества полюсов имеют общую точку. Тогда по теореме Хелли все множества полюсов имеют общую точку $Y.$ Поляра точки $Y$ будет пересекать все прямоугольники.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#75813

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около другой окружности. Лучи $DA$ и $CB$ пересекаются в точке $E,$ а лучи $CD$ и $BA$ — в точке $F.$ Пусть $OE$ — центр окружности, касающейся отрезков $ED,EC$ и описанной окружности треугольника $DEC.$ Докажите, что точки $F,O$ и $OE$ лежат на одной прямой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть Γ_E — окружность, касающейся отрезков ED, EC и описанной окружности треугольника DEC, Ω — описанная окружность четырёхугольника ABCD. G — точка пересечения диагоналей AC и BD. Достаточно доказать, что поляры точки F относительно окружностей Γ_E и Ω совпадают. Через какие точки точно проходит поляра точки F относительно Ω?

Подсказка 2

Верно! Поляра точки F относительно Ω точно проходит через точки G и E. Будем теперь доказывать, что E лежит на поляре точки F относительно Γ_E. Какому утверждению про точку F и окружность Γ_E это равносильно?

Подсказка 3

Точно! Точка E лежит на поляре точки F относительно Γ_E тогда и только тогда, когда прямая через точки касания окружности Γ_E с прямыми AD и BC проходит через точку F. Через какую точку эта прямая через точки касания точно проходит?

Подсказка 4

Правильно! Пусть I — центр вписанной окружности ABCD. Тогда мы знаем, что прямая через касания окружности Γ_E с прямыми AD и BC проходит через точку I. Что мы можем сказать про направление этой прямой? Какой прямой она параллельна/перпендикулярна?

Подсказка 5

Ага! Эта прямая перпендикулярна биссектрисе угла AEB, то есть прямой EI, а значит, и параллельна биссектрисе угла AFD, то есть прямой FI так, как четырёхугольник ABCD — вписанный. Следовательно, мы доказали, что поляра точки F относительно Γ_E проходит через точку E. Осталось проверить, что она же проходит через G. Для этого докажем, что прямые EF, EG, EA, EB высекают на прямой FI гармоническую четверку. На какой прямой эти прямые точно высекают гармоническую четверку?

Показать доказательство

Пусть $Γ E$ — окружность, касающейся отрезков $ED, EC$ и описанной окружности треугольника $DEC, Ω$ — описанная окружность четырёхугольника $ABCD, I$ — центр его вписанной окружности, $G$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD.$ Мы докажем, что $EG$ — поляра точки $F$ относительно обеих окружностей $Γ E$ и $Ω.$ Тогда $OF$ и $OEF$ обе перпендикулярны $EG,$ откуда и следует утверждение задачи.

Тот факт, что $EG$ — поляра точки $F$ относительно $Ω,$ есть по сути утверждение теоремы Брокара, факта, который мы считаем достаточно известным.

Покажем, что $E$ лежит на поляре $F$ относительно $Γ E.$ Рассмотрим поляру $E$ относительно $Γ E;$ она проходит через точки касания $Γ E$ с $EC$ и $ED.$ Как известно, эта прямая содержит $I$ и перпендикулярна $EI.$ Но биссектрисы $EI$ и $FI$ углов $CED$ и $DF A$ также перпендикулярны, ибо $ABCD$ вписан, то есть $F$ лежит на поляре точки $E.$ Отсюда и следует требуемое.

Пусть $X$ — точка пересечения прямых $EG$ и $FI.$ Тогда точки $F,X$ и точки касания $Γ E$ с прямыми $EC$ и $CD$ образуют гармоническую четверку, так как можно спроецировать из точки $E$ на прямую $AB.$ Следовательно, $EG$ — поляра точки $F$ относительно $Γ E.$

$PIC$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Доказать, что $G$ лежит на поляре точки $F$ относительно $Γ F,$ можно и по-другому. Например, помогает окружность, построенная на $EI$ как на диаметре. Стоит заметить, что $EF$ — радикальная ось этой окружности с $(CDE).$ Пусть $Y$ и $X$ — точки касания вписанной окружности четырёхугольника $ABCD$ со сторонами $AD$ и $BC$ соответственно. Сразу отметим, что тогда известно, что точки $X,G$ и $Y$ лежат на одной прямой. Пусть эта прямая пересекает прямую $EF$ в точке $J.$ Спроецируем отношение $(EF,EG,EZ1,EX1)$ на прямую $XZ,$ получим $(J,G,Z,X).$ Наконец, пусть $K$ — точка пересечения $IG$ с $EF.$ Тогда известно, что $∘ ∠EKI = 90 = ∠EZI =∠EXI,$ то есть точки $E,K,X,Z,I$ лежат на одной окружности, причём дуги $ZI$ и $IX$ равны. Но тогда $(J,G,Z,X )$ — гармоническая четвёрка, поскольку $KG$ — биссектриса угла $∠ZKX,$ а $KJ$ — перпендикулярная ей внешняя биссектриса.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#99361

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD.$ Внутри треугольника $BCD$ взяли точку $L , a$ расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников $ACD, ABD,ABC$ взяли точки $Lb,Lc$ и $Ld$ соответственно. Оказалось, что четырёхугольник $LaLbLcLd$ вписанный. Докажите, что у $ABCD$ есть две параллельные стороны.

Источники: Олимпиада им.Шарыгина - 2014, 10.8

Показать доказательство

Пойдем от противного. Пусть у $ABCD$ нет параллельных сторон. Тогда обозначим точки пересечения пар прямых $(AC,BD ),(AB,CD )$ и $(AD,BC )$ за $R,P,Q$ соответственно. Для начала заметим, что $La$ является точкой Лемуана треугольника $BCD.$ Это можно понять из того, что она изогонально сопряжена точке пересечения медиан, а, значит, достаточно проверить, что расстояния от точки пересечения медиан до сторон обратно пропорциональны этим сторонам, что сразу следует, например, из площадей. Обозначим за $X,Y,Z,T$ вершины четырёхугольника, который образован касательными в точках $A,B,C,D$ к окружности (порядок, как на картинке ниже). Тогда $La$ и $Lc$ являются точками пересечениями пар прямых $(BT,DX )$ и $(BZ,DT)$ соответственно. Следовательно, по теореме Паппа для троек $(X,Y,B)$ и $(Z,T,D)$ точки $La,Lc,R$ лежат на одной прямой. Аналогично можно показать, что $Lb,Ld,R$ лежат на одной прямой. А еще аналогичные коллинеарности можно показать для точек $P,Q.$ А именно прямые $LaLb$ и $LcLd$ пересекаются в точке $P$ и прямые $LaLd$ и $LbLc$ пересекаются в точке $Q.$ Тогда треугольник $PQR$ является автополярным(т.е каждая вершина является полюсом противолежащей стороны) относительно окружности $(LaLbLcLd)$ и окружности $(ABCD ).$ Докажем, что у треугольника не может быть больше одной окружности относительно, которой он автополярен. Для начала отметим, что центр окружности $O$ должен совпадать с ортоцентром треугольника $P QR.$ А еще её радиус должен удовлетворять равенству $OR ⋅d(O,PQ)= r2,$ а, значит, он восстанавливается по треугольнику однозначно.

$PIC$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел