Поляры

Пойдем от противного. Пусть у нет параллельных сторон. Тогда обозначим точки пересечения пар прямых и за соответственно. Для начала заметим, что является точкой Лемуана треугольника Это можно понять из того, что она изогонально сопряжена точке пересечения медиан, а, значит, достаточно проверить, что расстояния от точки пересечения медиан до сторон обратно пропорциональны этим сторонам, что сразу следует, например, из площадей. Обозначим за вершины четырёхугольника, который образован касательными в точках к окружности (порядок, как на картинке ниже). Тогда и являются точками пересечениями пар прямых и соответственно. Следовательно, по теореме Паппа для троек и точки лежат на одной прямой. Аналогично можно показать, что лежат на одной прямой. А еще аналогичные коллинеарности можно показать для точек А именно прямые и пересекаются в точке и прямые и пересекаются в точке Тогда треугольник является автополярным(т.е каждая вершина является полюсом противолежащей стороны) относительно окружности и окружности Докажем, что у треугольника не может быть больше одной окружности относительно, которой он автополярен. Для начала отметим, что центр окружности должен совпадать с ортоцентром треугольника А еще её радиус должен удовлетворять равенству а, значит, он восстанавливается по треугольнику однозначно.