Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Многочлены на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76296

Дан многочлен $F(x)= 1+2x+ 3x2+ 4x3+ ...+ 100x99.$

Можно ли, переставив коэффициенты, получить многочлен $2 3 99 G(x)=g0+ g1x +g2x + g3x + ...+ g99x ,$

такой что для всех натуральных чисел $k≥ 2$ разность $F(k)− G(k)$ не кратна $100?$

Источники: ОММО - 2020, номер 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним свойство о том, F(b) - F(a) делится на b - a для многочленов с целыми коэффициентами. Как можно его применить?

Подсказка 2

Заметим, что F(1) = G(1). А, что если подставить 101 в многочлены?

Подсказка 3

Верно! Получится, что F(101) - F(1) делится на 100 и G(101) - G(1) делится на 100. Что получится, если теперь рассмотреть разность этих выражений?

Показать ответ и решение

Предположим противное и пусть такой многочлен $G (x)$ существует. Будем пользоваться следующей известной леммой: если $H(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых целых $a$ и $b$ число $H(a)− H (b)$ делится на $a− b.$ Тогда числа $F(101)− F(1)$ и $G (101)− G(1)$ делятся на $100,$ а тогда на $100$ делится и их разность: